Пример. 1. Возьмем на плоскости две точки

Эллипс

Линии 2-го порядка

1. Возьмем на плоскости две точки

Опр. Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами,

есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

2. Составим уравнение эллипса.

Выберем систему координат

Пусть точка

принадлежит эллипсу

(3)

Преобразуем уравнение (1), возводя в квадрат обе части:

(4)

Мы показали, что координаты точек эллипса удовлетворяют уравнению (4). Но при переходе от (3) к (4) мы дважды возводили уравнение в квадрат, при этом могли появиться лишние корни. Убедимся, что точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (4), принадлежат эллипсу, то есть

Аналогично:

Так как то Из (2) поэтому

Значит,

(5)

Уравнение (4) называется каноническим уравнением эллипса.

Формулы (3) дают фокальные радиусы эллипса

3. Исследование формы эллипса.

Если то То есть у эллипса есть две оси симметрии и центр симметрии Точки пересечения эллипса с осями координат называются его вершинами. Пользуясь симметрией эллипса, рассмотрим его форму в 1 четверти.

При росте от 0 до убывает от до 0.

Продолжим чертеж симметрично в другие четверти.

Как видно, эллипс – линия ограниченная, расположенная в прямоугольнике Вершины центр эллипса.

Заметим, что фокусы эллипса всегда принадлежат большей оси.

4. Эксцентриситет эллипса.

Опр.Эксцентриситет

При фокусы совпадают: эллипс является окружностью. Найдем:

Как видно, чем меньше тем дробь ближе к 1, то есть эллипс становится шире. Чем больше тем больше эллипс вытянут вдоль оси

5. Параметрические уравнения эллипса.

Пусть задан эллипс

Построим две

окружности

Произвольный луч под углом к оси

пересекает их в точках Построим точку Очевидны равенства:

(6)

Подставив (6)в уравнение эллипса, получим верное равенство, следовательно, точка принадлежит эллипсу. Уравнения (6) называются параметрическими уравнениями эллипса.

Замечание. Можно доказать обратное утверждение: если точка принадлежит эллипсу, то найдется значение параметра такое, что выполняются соотношения (6).

Отсюда ясен способ построения эллипса.

6. Директрисы эллипса.

Опр. Директрисами эллипса называются прямые, параллельные малой оси и отстоящие от неё на расстояние

Очевидны уравнения директрис:

Найдем отношение расстояний точки эллипса до фокуса и до соответствующей директрисы. Расстояния до фокусов дают формулы (5):

Расстояния до директрис:Отсюда:

Свойство директрис эллипса: эллипс есть множество точек, отношение расстояний от каждой из которых до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету.