2014-02-09
918
7.4.1. Нормальный вектор прямой.
Прямая 
задана в системе 
Опр. Нормальным вектором прямой называется
любой ненулевой вектор 
, перпендикулярный
направляющему вектору.
В аффинной системе координат, в частности в дпск, общее уравнение прямой 
направляющий вектор.
Возьмем вектор 
как видно, 
нормальный вектор. Отсюда ясен геометрический смысл коэффициентов 
если прямая задана в дпск уравнением 
Пусть прямая 
проходит через точку 
тогда 
Вычитая из уравнения прямой, получим:
(11)
Это уравнение прямой с нормальным вектором 
и проходящей через точку 
7.4.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
где 
или 
7.4.3. Расстояние от точки до прямой
Пусть в дпск заданы прямая и точка 
Найдем расстояние 
от точки до прямой.
Вычислим скалярное произведение
(12)
Задача. Найдите расстояние от точки 
до прямой 
Задача. Найдите расстояние между прямыми: 
7.4.4. Угол между прямыми.
Опр. Углом между двумя прямыми называется угол между их направляющими векторами.
Из определения следует, что углом между двумя прямыми является один из 4-х углов при их пересечении.
Опр. Угол называется направленным, если указан порядок его сторон.
Пусть 
или 
(13)
Условие параллельности: 
или 
Условие перпендикулярности: 
.
Задача. Найдите проекцию точки 
на прямую 
7.4.5. Решение задач.
№1. Составьте уравнения прямых, параллельных прямой 
и отстоящих от точки 
на расстояние 
№2. Найдите точку 
симметричную точке 
относительно прямой 
№3. Точка 
является вершиной правильного треугольника, её противоположная сторона: 
Составьте уравнения двух других сторон.
№4. Составьте уравнение биссектрисы того угла между прямыми 
внутри которого лежит точка 
№5. Центр симметрии квадрата есть точка 
уравнение одной стороны 
Составьте уравнения других сторон.
№6. Докажите, что ортоцентр, центр тяжести и центр описанной окружности треугольника лежат на одной прямой – прямой Эйлера.
№7. Составьте уравнение биссектрисы острого угла между прямыми
№8. Составьте уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину
уравнения биссектрисы 
и медианы 
проведенными из различных вершин.
№9. Определите, лежит ли точка 
внутри или вне треугольника со сторонами 
Отв.Вне.
