Векторов к доказательству теорем

Приложение скалярного произведения

1. Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

□ Пусть в . Докажем, что .

Запишем сначала векторное равенство для векторов, содержащих стороны , применив правило треугольника:

(рис. 13).

Возведем это векторное равенство в скалярный квадрат: .

По следствию из свойства А3⁰

.

Так как , то по свойству Г1⁰ . Применив Г2⁰, получаем:

.

Учитывая, что , , (т.е. длина вектора - это длина отрезка АВ), окончательно будем иметь:

. ■

2. Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

□ Докажем, что (рис. 14).

Представим вектор в виде разности векторов двух других сторон:

.

Возведем обе части этого векторного равенства в скалярный квадрат:

.

Далее воспользуемся следствием из свойства А3⁰:

.

Учитывая, что , , и , получим:

,

откуда

. ■