ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение:
(а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц.
Свойства:
1. (а,b)= (b,а)
2. (aа,b)= a (а,b)
3. (а+b,с)= (а,с)+ (b,с)
4. (а,а)=|a|2 – скал.квадрат.
Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.
Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.
Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.
Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.
Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2/sqrt(x12+y12+z12)*sqrt(x22+y22+z22)
Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.
|
|
Свойства:
1. [a,b]= - [b,a]
2. [aа,b]= a [а,b]
3. [a+b,c]=[a,c]+[b,c]
4. [a,a]=0
Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.
Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.
Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.
Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. ea=a/|a|
1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр.
1. Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.
Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).
Доказательство: подставим коорд. т.М0 в ур-е (1) и получим Ах0+By0+C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х0)+B(y-y0)=0, n(A,B), М0М(х-х0, y-y0). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M0M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным вектором прямой.
Замечание: пусть ур-я А1х+B1y+C1=0 и А2х+B2y+C2=0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А1=t*А2 и т.д.
Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.
1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)
2. С=0, А=0, By=0, значит у=0
3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0
4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ
|
|
5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY
2. x/a+y/b=1.
Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b
3. x-x1/e=y-y1/m
Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M1М(х-х1; y-y1)
4. x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1
Пусть на прямой даны две точки М1(x1;y1) и М2(x2;y2). Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x2-x1; y2-y1)
5. y=kb+b.
u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u
Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x1/e/e=y-y1/m/e. y-y1=k(x-x1) при y1-kx1=b, y=kx+b
6. xcosq+ysinq-P=0
q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой, если изветны Р и q
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cosq, sinq). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части.
Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcosq+ysinq-P=0
т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.
Cos2q=(A*t)2
Sin2q=(B*t)2
-p=C*t
cos2q+sin2q=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=±sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.
7. Система: x=et+x1 и y=mt+y1