double arrow

ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА


ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

11’)=cos u

12’)=cos (90+u)= -sin u

21’)=cos (90-u)=sin u

22’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

11’)=(е1, a11е1+a12е2)= a11

12’)= (е1, a21е1+a22е2)= a21

21’)= a12

22’)= a22

Приравниваем:

a11=cos u

a21= - sin u

a12=sin u

a22=cos u

Получаем:

x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’ - формулы параллельного переноса

Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I1; I2; I3

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.




Определение:

I2>0 – элиптический тип

I2<0 – гиперболический тип

I2=0 – параболический тип

Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).

Параллельный перенос:

Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:

a11x’2+2a12x’y’+a22y’2+a’33=0 (2)

точка О’ находится из условия: a13’=0 и a23’=0.

Получается система a11x0+a12y0+a13=0 и a12x0+a22y0+a23=0

Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)

Но точка О’ существует если знаменатели у x0 и y0 отличны от нуля.

Точка O’ – единственная точка.

Центр симметрии кривой существует если I2¹0 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа

Поворот:

Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а12=0. a12’= -0,5(a11-a22)sin2u+a12cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:

, после такого преобразования уравнение принимает вид

a11’x’2+a22’y’2+2a13’x’+2a23’y’+a33’=0 (3)







Сейчас читают про: