Теорема об отношении расстояний. 2-ое определение эллипса, гиперболы, параболы

Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы).

Доказательство: для эллипса.

r₁/d₁=e

x£|a|, xe+a>0

r₁=xe+a

d₁ – расстояние от М(x,y) до прямой D₁

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

б_м=-x-a/e

d₁=-б_м (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)

Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1, параболу, если =1.