Примеры расчета электростатических полей в вакууме

1.8.1. Полепрямолинейного отрезка нити (см. ОРОКС, примеры 1.9, 1.10) (Пример 1).

Найти напряженностьэлектрического поля, созданного отрезком тонкой, однородно заряженной с линейной плотностью нити (см.рис). Углы a₁, a₂ и расстояние r известны.

Отрезок разбивают на небольшие отрезки, каждый из которых относительно точки наблюдения можно считать точечным. ;

Случай полубесконечной нити;

Случай бесконечной нити:

1.8.2. Поле электрического точечного диполя (Пример 2).

Электрический диполь – система, состоящая из двух одинаковых по величине, но разноименных точечных зарядов +q и –q, расположенных на конечном расстоянии друг от друга.

Характеризуется дипольным моментом: , направленным от - q к + q.

– радиус вектор положительного заряда относительно точки, в которой сосредоточен отрицательный заряд

Элементарным или точечным диполем называется предельная система при конечном p. Расстояние l много меньше расстояния r до точки, где определяется поле системы.

Поле точечного диполя полностью определяется его дипольным моментом , тогда как в поле реального диполя заметный вклад дают еще и мультипольные моменты. Поле точечного диполя и поле обычного диполя с одинаковыми дипольными моментами – это поля разные. Поле реальной системы особенно отлично вблизи зарядов.

В электростатике на больших расстояниях поле реального диполя не отличается от поля точечного диполя. Попробуем эту задачу все-таки усложнить. Мы рассматриваем систему из двух точечных зарядов и на некотором расстоянии от этих точечных зарядов мы хотим найти напряженность электрического поля. Точка наблюдения характеризуется радиус-вектором .

● Напряженность поля в точке, расположенной на оси диполя.

Сначала смотрим этот диполь, когда точка наблюдения расположена на линии дипольного момента.

Если расстояние от +q до точки наблюдения обозначить , а от минуса , то напряженность поля созданного в точке наблюдения плюсом будет изображаться довольно длинным вектором, а поле созданное в этой же точке, но минусом, будет не только направлено в другую сторону, но еще и вектор будет короче. Наша задача найти суперпозицию.

:так как далеко находимся

Мы получили составляющую поля напряженности точечного диполя, параллельную линии, соединяющей диполь и точку наблюдения (параллельную вектору ).

Мы получили скалярное выражение, а можем сделать векторное .

● Напряженность поля диполя в точке, лежащей на перпендикуляре, восстановленном к его середине.

Теперь наша задача в том, чтобы найти составляющую вектора напряженности, действующую на точку, находящуюся на перпендикуляре (в нашем случае – серединном, хотя это и не принципиально, т.к. диполь – точечный) к вектору .

Будем рассматривать единичный положительный пробный заряд, находящийся на расстоянии от диполя (см. Рисунок). Рассматривая соответствующие треугольники (напряженностей и расстояний), получим соотношение:

Из рисунка видно, что вектора и противонаправлены,

поэтому можем записать:

Теперь мы можем найти вектор напряженности поля диполя в любой точке пространства:

Рассмотрим достаточно произвольную точку пространства, соединим эту точку (обозначенную на рисунке квадратиком) и диполь пунктирной линией. Разложим вектор на две составляющие: и так, как это показано на Рисунке 1. Если представить диполь в виде полюсов, положительного и отрицательного, то это все равно, что мы в точку наблюдения поместим 2 заряда, положительный и отрицательный, равные по модулю и противоположные по знаку (Рисунок 2). Т.е. получили как будто бы еще 2 диполя - и .

Итак, напряженность поля диполя можно представить в виде суммы двух его составляющих:

Видно, что ,

Еще заметим, что можно представить в виде: ,

Тогда воспользуемся следующей системой уравнений и подставим эти уравнения в выражения для напряженности, полученные выше:

(*)

По этой формуле может быть найдена напряженность поля точечного диполя в произвольной точке пространства.