Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Дадим определения этих произведений в краткой форме.

а) Скалярное произведение векторов и

б) Векторное произведение векторов и

- есть вектор удовлетворяющий требованиям:

1) 2) 3)тройка правая, т.е. кратчайший поворот от вектора к вектору имеющих общее начало, виден из конца вектора (с тем же началом) совершающимся против часовой стрелки.

в) Смешанное произведение векторов

Введенные операции умножения над векторами обладают свойствами ассоциативности и дистрибутивности. Свойство коммутативности верно лишь для скалярного произведения. При перемене мест сомножителей в векторном произведении изменяется знак (антикоммутативность): То же может произойти и в смешанном произведении. Например, Учитывая свойство антикоммутативности векторного произведения, можно обращаться с введенными произведениями векторов как с обычным произведением чисел. Например,

Здесь учтено, что векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю (здесь и далее вместо пишем просто 0).

Имеют место следующие утверждения, вытекающие из а), б) и с).

Скалярное произведение векторов и равно нулю когда векторы и ортогональны друг другу.

Векторное произведение равно нулю когда векторы и коллинеарны.

Смешанное произведение равно нулю когда векторы, и компланарны (т.е. все они либо лежат в одной плоскости, либо находятся в параллельных плоскостях).

Геометрический смысл: а) модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и; б) модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах, и.

Прежде чем дать формулы для вычисления произведений векторов в координатной форме, введем понятие определителей второго и третьего порядков:

Теорема 4. Если векторы и заданы своими координатами в базисе то имеют место формулы:

а) (скалярное произведение;)

б) (векторное произведение);

в) (смешанное произведение).

Доказательство проведем лишь для скалярного произведения. Имеем

Учитывая, что векторы попарно ортогональны, получаем, что в этой сумме только слагаемые с множителями не равны нулю; все другие слагаемые равны нулю. Значит, имеет место формула Теорема доказана.

Лекция 2. Плоскость и прямая в пространстве

Сначала заметим, что множество всех точек удовлетворяющих уравнению (если его можно разрешить относительно хотя бы одной из переменных) является уравнением некоторой поверхности. Это означает, что любая точка

удовлетворяет уравнению и, напротив, если то она не удовлетворяет этому уравнению.