Определители матрицы и их свойства

Матрицы и действия над ними. Матрицы специального вида

Определение 1. Матрицей размера называют таблицу чисел

состоящую из строк и столбцов При этом числа[1] называются элементами матрицы Матрицу называют квадратной матрицей размерности если число ее строк совпадает с числом столбцов

Часто матрицу обозначают так: Желая указать размеры матрицы, будем писать а саму матрицу будем называть матрицей.

Действия сложения и вычитания над матрицами одинакового размера определяются равенствами:

(т.е. при сложении или вычитании матриц складываются (соответственно вычитаются) их элементы, находящиеся на одинаковых местах).

Умножение матрицы на число определяется равенством

(т.е. при умножении матрицы на число надо каждый элемент этой умножить на это число).

Матрицы можно умножать друг на друга только в том случае, когда их размеры согласованы, т.е., когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы:

Сначала определяют произведение вектор-строки на

вектор-столбец (имеющих одинаковое число компонент):

Затем определяют

в) произведением матриц с согласованными размерами и называется матрица й элемент которой получен умножением й строки матрицы на й столбец матрицы

Например,

Часто встречаются матрицы следующего специального вида:

1. Единичная матрица:

2. Диагональная матрица: (здесь и в матрице все элементы вне главной диагонали равны нулю).

3.Треугольная матрица:

4. Матрица трапециевидной формы:

При решении линейных систем уравнений будут встречаться матрицы ступенчатого вида. Чтобы описать их, введем понятие опорного элемента строки. Это не равный нулю первый слева элемент строки. Например, в строке элемент (-5) является опорным (здесь и ниже в рамке указан опорный элемент).

Определение 2. Матрица называется матрицей ступенчатого вида, если в ней:

а) опорный элемент каждой строки находится правее опорного элемента предыдущей строки;

б) если в матрице есть нулевая строка, то и все следующие ее строки также нулевые.

Ясно, что диагональная, верхне-треугольная и трапециевидная матрицы являются ступенчатыми. Другой пример матрицы ступенчатого вида:

Мы имели уже дело с определителями второго и третьего порядков на предыдущих лекциях. Дадим теперь общее понятие определителя порядка по индукции. Любой квадратной матрице вида

ставится в соответствие число

определяемое ниже (см. определение 5) и называемое определителем (или детерминантом) матрицы Теперь введем понятие минора матрицы.

Определение 3. В матрице на пересечении любых строк и столбцов стоит матрица порядка. Определитель матрицы называется минором го порядка матрицы

Ясно, таких миноров может быть несколько. Пусть теперь матрица является квадратной.

Определение 4. Минор порядка, полученный из матрицы после вычеркивания её строки и го столбца, называется дополнительным минором элемента этой матрицы (обозначение:). Число называется алгебраическим дополнением элемента матрицы.

Определение 5. Пустьв квадратной матрице выделена произвольная строка Определителем матрицы называется число

(т.е. сумма произведений элементов й строки на их алгебраические дополнения). Часто определитель матрицы обозначают так:

Как мы уже отметили выше, определитель порядка вычисляется по индукции: если известно правило вычисления определителей порядка, то определитель порядка вычисляется по формуле (1). Ранее было даны правила вычисления определителей второго и третьего порядков, поэтому по формуле (1) можно вычислить определители четвертого порядка и выше. Например,

Перечислим основные свойства определителей. Сначала заметим, что матрица полученная из матрицы заменой строк на столбцы с теми же номерами, называется тран-

спонированной к матрицей. Обозначение:

1) При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется:

2) При перестановки каких-либо двух строк (или двух столбцов) матрицы ее определитель изменяет знак на противоположный.

3) Определитель, у которого есть нулевая строка (или нулевой столбец) равен нулю.

4) Определитель, у которого элементы одной строки (или столбца) пропорциональны элементам другой строки (или столбца) равен нулю.

5) Общий множитель элементов любой строки (или столбца) можно выносить за знак определителя:

6) Если к какой-нибудь строке определителя прибавить другую строку, умноженную на любое число то определитель не изменится. Тоже верно и для столбцов определителя.

7) (сумма определителей)

8) Определитель произведения двух квадратных матриц одной и той же размерности равен произведению определителей этих матриц:

Доказательство всех этих свойств проводится с использованием определения 5. Докажем, например, свойство 5. Имеем

Свойство 5 доказано.