Шкала бесконечности.
Степенные бесконечности.
xn=o(xm), 0<n<m при х®+¥. Из двух степенных бесконечностей сильнее та, у которой показатель степени больше.
Докажем:
xn=xm(xn/xm)=xm(1/x(m-n))=xmg(x) m-n>0 xmg(x)ºo(xm)
Показательные бесконечности.
ах=о(bх), 1<a<b при x®+¥. Из двух показательных бесконечностей сильнее та, у которой основание больше.
Докажам
ax=ax(bx/bx)=ax(a/b)x=bxg(xºo(bx) (0<a/b<1)
ln(x)=o(xa), "a>0. Логарифмическая бесконечность слабее любой степенной бесконечности.
ln(x)<x "x
lim ln(x)/xa=lim [(ln(x)/(xa/2xa/2))((a/2)/(a/2))]=
x®0 x®0
lim [(ln(x)/xa/2)(2/(axa/2)]
x®0
Произведение бесконечно малых на ограниченную
равно бесконечно малой.
lim (ln(x)/xa)=0 Û (lim(x))/xa=g(x) Û lna=xag(x)ºoxa,
x®0
x®+¥
Показательная и степенная.
Xk=o(ax), " k>0,a>1 x®+¥ lim(xk)/(ax)=0
x®+¥
Теорема: Пусть a(x) ~ a1(x) при x®x0 (±¥)
b(x) ~ b1(x) при x®x0 (±¥)
Тогда lim a(x)/b(x)=lim a1(x)/b1(x)
x®x0 (±¥) x®x0 (±¥)
Доказательство:
lima(x)/b(x)=lim[a(x)a1(x)b1(x)]/[a1(x)b1(x)b(x)]=lim(a(x)/b(x))lim(b1(x)/b(x))lim(a1(x)/b1(x))=lim a1(x)/b1(x) что
x®0 x®0 x®0 x®0 x®0 x®0
и требовалось доказать. Замечание: аналогичное утверждение справедливо для двух бесконечно больших.
Пример:
lim sin(x)/3x=limx/3x=1/3
x®0 x®0
Определение: (главного слагаемого)
a1(x)+a2(x)+…+an(x), при x®x0 (±¥)
Главным слагаемым в этой сумме называется то слагаемое по сравнению с которым остальные слагаемые являются бесконечно малыми более высокого порядка малости или бесконечно большие более низкого порядка роста.
a1(x) – главное слагаемое, если a2(х)=о(a1(х)),…,an(x)=o(a1(x)) при x®x0 (±¥)
Конечная сумма бесконечно малых эквивалентна своему главному слагаемому:
a1(x)+a2(x)+…+an(x) ~ a1(x), при x®x0 (±¥) если a1(х) – главное слагаемое.
Доказательство:
lim [a1(x)+a2(x)+…+an(x)]/a1(x)=lim[a1(x)+a1(x)g(x)+…+a1(x)g(x)]/a1(x)=lim[a1(x)(1+g1(x)+…+gn(x))]/a1(x)=1 x®x0 (±¥) x®x0 (±¥) x®x0 (±¥)
Пример:
lim (ex+3x100+ln3x)/(2x+1000x3+10000=lim ex/2x=lim ex/(exg(x))=+¥
x®+¥ x®+¥ x®+¥
2x=o(ex)ºexg(x)