Второй замечательный предел

Определение

Определение

f(x) определена в O°⁺(x₀)

lim (f (x))=b Û "ε>0 $d>0: " xÎO°⁺_d(x₀)Þf(x)ÎO_ε(b) x₀<x<x₀+d

^x®x_°⁺⁰

f(x) определена в O°^-(x₀)

lim (f (x))=b Û "ε>0 $d>0: " xÎO°^-_d(x₀)Þf(x)ÎO_ε(b) x₀-d<x<x₀d

^x®x_°^-0

Теорема Пусть f(x) определена в O°(x₀) Для того чтобы существо-

вал предел $ lim(f(x))=b Û $ lim(f(x))=lim(f(x))=b

^x®x_° ^x®x_°^{+0 x®x}_°^-0

Пусть $ lim(f(x))=b, то есть "ε>0 $d>0: " xÎO°_d(x₀)Þf(x)ÎO_ε(b) f(x)ÎO_d(b) для " xÎO°⁺_d(x₀) и для " xÎO°^-_d

^x®x_°

" xÎO°^-_d(x₀)Þ$ lim(f(x));lim(f(x))=b что и требовалось доказать.

^x®x_°^{+0 x®x}_°^-0

Теорема lim(1+1/x)^x=e

^x®+¥

Доказательство: Пусть n – целая часть х – n=[x] n£x<n+1

[1+1/(n+1)]ⁿ£(1+1/x)^x£(1+1/n)ⁿ⁺¹

Если x®+¥, то n®+¥

[1+1/(n+1)]ⁿ⁺¹1/[1+1/(n+1)]£(1+1/x)^x£(1+1/n)ⁿ(1+1/n) Þ lim(1+1/x)^x=e

^x®+¥