2014-02-18
4777
Будем изучать модулированные радиосигналы, которые получаются за счёт того, что в несущем гармоническом колебании 
передаваемое сообщение 
изменяет либо частоту 
, либо начальную фазу 
; амплитуда 
остаётся неизменной. Поскольку аргумент гармонического колебания 
, называемый полной фазой, определяет текущее значение фазового угла, такие сигналы получили название сигналов с угловой модуляцией.
Виды угловой модуляции.
Предположим, что полная фаза 
связана с сигналом зависимостью:
(5.20)
Где 
– значение частоты в отсутствие полезного сигнала; k - некоторый коэффициент пропорциональности. Модуляцию, отвечающую соотношению (5.20) называются фазовой модуляцией (ФМ):
(5.21)
Если сигнал S(t)=0, то ФМ – колебание является простым гармоническим колебанием. С увеличением значения сигнала S(t) полная фаза 
растёт во времени быстрее, чем по линейному закону. При уменьшении значений модулирующего сигнала происходит спад скорости роста во времени.
В моменты времени, когда сигнал S (t)достигает экстремальных значений, абсолютный фазовый сдвиг между ФМ-сигналом и немодулированным гармоническим колебанием оказывается наибольшим. Предельное значение этого фазового сдвига называется девиацией фазы 
. В общем случае, когда сигнал S(t) изменяет знак, принято различать девиацию фазы вверх 
и девиацию фазы вниз 
. Мгновенная частота 
сигнала с угловой модуляцией определяется как первая производная от полной фазы по времени:
(5.22)
При частотной модуляции сигнала (414) между величинами S(t) и имеется связь вида:
(5.23)
Поэтому:
(5.24)
Естественными параметрами ЧМ-сигнала общего вида в соответствии с формулой (5.23) являются девиация частоты вверх 
и девиация частоты вниз 
.
Однотональные сигналы с угловой модуляцией.
Анализ ФМ- и ЧМ-сигналов с математической точки зрения гораздо сложнее, чем исследование АМ-колебаний. Поэтому мы будем рассматривать простейшие однотональные сигналы.
В случае однотонального ЧМ-сигнала мгновенная частота:
,
где 
- девиация частоты сигнала.
На основании формулы (5.22) полная фаза такого сигнала
,
где 
– некоторый постоянный фазовый угол.
Величина
(5.25)
называется индексом однотональной угловой модуляции.
Для краткости положим, что неизменные во времени фазовые углы 
, и выразим мгновенное значение ЧМ-сигнала в виде:
(5.26)
Аналитическая форма записи однотонального ФМ-сигнала будет аналогичной. Однако нужно иметь в виду следующее: ЧМ- и ФМ-сигналы ведут себя по-разному при изменении частоты модуляции и амплитуды модулирующего сигнала, кроме того при ФМ 
, а при ЧМ
.
Спектральное разложение ЧМ- и ФМ-сигналов при малых индексах модуляции.
Задачу о представлении сигналов с угловой модуляцией посредством суммы гармонических колебаний несложно решить в случае, когда 
. Для этого преобразуем формулу (5.26) следующим образом:
(5.27)
Поскольку индекс угловой модуляции мал, воспользуемся приближёнными равенствами:
На основании этого из равенства (5.27) получаем:
(5.28)
Таким образом, показано, что при в спектре сигнала с угловой модуляцией, содержатся несущие колебания и две боковые составляющие (верхняя и нижняя) на частотах 
. Индекс m играет здесь такую же роль как коэффициент М при АМ. Однако можно обнаружить и существенное различие спектров АМ-сигнала и колебания с угловой модуляцией.
Спектральная диаграмма сигнала с угловой модуляцией при .
Для спектральной диаграммы, построенной по формуле (5.28) характерно то, что нижнее боковое колебание имеет дополнительный фазовый сдвиг на 180 градусов. При значениях m=0.5-1 появляется вторая пара гармонических колебаний с боковыми частотами 
, затем третья пара и так далее. Возникновение новых спектральных составляющих приводит к перераспределению энергии по спектру.
С ростом m амплитуда боковых составляющих увеличивается, в то время как амплитуда несущего колебания уменьшается.
Спектр сигнала с угловой модуляцией при произвольном значении индекса m.
Для простейшего случая однотонального ЧМ- и ФМ-сигнала можно найти общее выражение спектра, справедливое при любом значении индекса модуляции m.
Математическая модель ЧМ- или ФМ-сигнала с любым значением индекса модуляции:
(5.29)
(m) – функция Бесселя k- того порядка от аргумента m.
Спектр однотонального сигнала с угловой модуляцией в общем случае содержит бесконечное число составляющих, частоты которых равны 
; амплитуды этих составляющих пропорциональные значениям 
.
В теории функций Бесселя доказывается, что функции с положительными и отрицательными индексами связаны между собой соотношением:
Поэтому начальные фазы боковых колебаний с частотами 
совпадают, если k- чётное число, и отличаются на 180 градусов, если k- нечётное. С ростом индекса модуляции расширяется полоса частот, занимаемая сигналом. Обычно полагают, что допустимо пренебречь всеми спектральными составляющими с номерами 
. Отсюда следует оценка практической ширины спектра сигнала с угловой модуляцией.
(5.30)
Как правило, реальные ЧМ- и ФМ-сигналы характеризуются условием 
. В этом случае
(5.31)
Таким образом, сигнал с угловой модуляцией занимает полосу частот, приблизительно равную удвоенной девиации частоты.
Для передачи АМ-сигнала требуется полоса частот, равная 
, то есть в m раз меньшая. Большая широкополосность ЧМ- и ФМ-сигналов обуславливает их гораздо более высокую помехоустойчивость по сравнению с АМ-сигналами.
Спектральные диаграммы сигнала с угловой модуляцией при двух значениях индекса m (амплитуды представлены в относительном масштабе).
Угловая модуляция при негармоническом модулирующем сигнале.
Интересная особенность колебаний с угловой модуляцией проявляется в случае, когда модулирующий сигнал не является гармоническим. Рассмотрим, для простоты сигнал, промодулированный лишь двумя низкими частотами:
(5.32)
Положим, что парциальные индексы модуляции 
малы настолько, что можно пользоваться приближёнными выражениями для косинуса и синуса: 
.
Выполнив несколько громоздкие, но вполне элементарные тригонометрические преобразования, представим исходный сигнал в виде суммы:
(5.33)
Следует обратить внимание на то, что в спектре рассматриваемого сигнала, помимо частот 
, присутствуют так называемые комбинационные частоты
с четырьмя возможными знаками. Амплитуды этих составляющих зависят от произведения парциальных индексов модуляции.
Спектральная диаграмма сигнала с двухтональной угловой модуляцией при малых значениях парциальных индексов модуляции .
Можно показать, что в общем случае, когда угловая модуляция осуществляется группой низкочастотных колебаний с частотами 
и парциальными индексами 
соответственно, спектральное представление сигнала таково:
(5.34)
Таким образом, при прочих равных условиях спектр колебания со сложной угловой модуляцией гораздо богаче спектра аналогичного АМ-сигнала. Угловую модуляцию, в отличие от амплитудной, называют модуляцией нелинейного типа.
