Дискретная случайная величина. Дискретный и непрерывный типы распределений

Дискретный и непрерывный типы распределений

Определение. Случайная величина x называется дискретной, если она принимает конечное или счетное множество значений.

Такая случайная величина характеризуется следующей таблицей, которая называется таблицей распределения:

Здесь a ₁, a ₂,..., a_n,... — значения случайной величины x, a p ₁; p ₂, …, p_n,... — вероятности этих значений, т.е.

p_k = Р (x = a_k), S _k p_k = 1.

По этой таблице можно построить функцию распределения случайной величины x. Пусть x — дискретная случайная величина, заданной таблицей распределения, причем a ₁, a ₂,..., a_n расположены в порядке возрастания:

Рассмотрим значения функции распределения случайной величины x на интервалах: (-¥, a ₁], (a ₁, a ₂],..., (a_{n -1}, a_n ] и (a_n,¥).

Пусть х Î (-¥, a ₁], тогда событие { x < x } становится невозможным, поэтому F_x (x) = 0. Если х Î (a ₁, a ₂], то F_x (x) = Р (x < x) = Р (x = a ₁), и поэтому F_x (x) = p ₁.

Аналогично, если х Î (a ₂, a ₃], то событие { x < x } = { x = a ₁} È { x = a ₂}, и поэтому F_x (x) = p ₁ + p ₂.

Рассуждая аналогично, получаем, если х Î (a_{k -1}, a_k ], то F_x (x) = p ₁ + p ₂ + ... + p_{k -1}.

Наконец, если х > a_n, то событие { x < x } становится достоверным, и поэтому F_x (x) = 1.

Таким образом, функция распределения дискретной случайной величины x является кусочно-постоянной функцией (ступенчатой), принимающей на интервале (- ¥, a ₁], значение 0, на интервалах (a_{k -1}, a_k ], k = 2,3,..., п— значение p ₁ + p ₂ + … + p_{k -1} и на интервале (a_n, ¥)—значение 1. Это записывается так:

График этой функции выглядит следующим образом:

Замечание. Для дискретной случайной величины x имеет место

где А — произвольное множество из Â ¹.

Пример. Игроку присуждается одно очко, если при подбрасывании монеты выпадает «решетка», и ничего не присуждается в противном случае. Построим график функции распределения выигрыша игрока после трех бросаний монеты.

Пусть x — выигрыш (число очков) игрока после трех бросаний. x — дискретная случайная величина, и она может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Найдем вероятности p_{i ,} i= 1,2,3,4:

p ₁= P (x = 0) =1/8, p ₂= P (x = 1) =3/8

p ₃= P (x = 2) =3/8, p ₄= P (x = 3) =1/8.

Эти вероятности подсчитаны следующим образом: например, событию { x = 2} соответствуют три из восьми возможных элементарных событий (соответствующие исходам, когда в одном из трех бросаний выпала «решетка», а в двух других — «герб»). Таблица распределения случайной величины x выглядит так:

Используя рассуждения, аналогичные вышеуказанным, находим функцию распределения случайной величины x:

Построим график этой функции