Примеры случайных величин

Сначала рассмотрим наиболее важные распределения дискретных случайных величин.

1. Распределение Бернулли с параметром р, 0 < р < 1.

Дискретная случайная величина x имеет распределение Бернулли (или x распределена по закону Бернулли), если она принимает значения 0 и 1 с вероятностями q и р, соответственно. Таблица распределения выглядит так:

Функция распределения x имеет вид (см. 2.2.1.):

График этой функции строится следующим образом

2. Биномиальное распределение с параметрами n, р.

Дискретная случайная величина x распределена по биномиальному закону, если ее таблица распределения выглядит так:

Проверьте самостоятельно, что= 1.

Число успехов в п экспериментах (одинаковых) двумя исходами в каждом эксперименте является примером случайной величины, имеющей биномиальное распределение.

3. Геометрическое распределение с параметром q, 0 £ q < 1.

Дискретная случайная величина x имеет геометрическое распределение, если ее таблица распределения имеет следующий вид:

где р_k = q^{k- 1} (1 - q), k = 1, 2,..., n,....

Проверьте самостоятельно, что = 1.

Число независимых экспериментов, которые необходимо провести до появления первого успеха является примером случайной величины, имеющей геометрическое распределение.

4. Распределение Пуассона с параметром l, l > 0.

Дискретная случайная величина x имеет распределение Пуассона, если ее таблица распределения выглядит следующим образом:

Проверьте самостоятельно, что = 1.

Примером такой случайной величины является число вызовов, поступивших на телефонную станцию за определенный промежуток времени.

Теперь приведем примеры наиболее важных распределений непрерывных случайных величин.

5. Равномерное распределение на отрезке [ a, b ].

Непрерывная случайная величина x имеет равномерное распределение на отрезке [ а, b ], если ее плотность распределения имеет следующий вид:

Функция распределения такой случайной величины определяется так: если x < a, то { x < х } — невозможное событие, поэтому F_x (x) = 0. Если х > b, то { x < х } — достоверное событие, поэтому F_x (x) = 1. А при а £ х < b получим

Таким образом получаем функцию распределения

Графики плотности распределения p(t) и функции распределения F_x (x) приведены ниже

6. Показательное (экспоненциальное) распределение с параметром l, l > 0

Непрерывная случайная величина x имеет показательное распределение, если ее плотность распределения имеет следующий вид:

Аналогичными рассуждениями из предыдущего пункта получим функцию распределения такой случайной величины:

Графики плотности распределения p [t) и функции распределения F_x (x) приведены ниже

Примерами показательно распределенных случайных величин могут служить: а) время распада атомов различных элементов, б) продолжительность безотказной работы радиоаппаратуры, в) длительность горения электрической лампочки, г) время обслуживания в системах массового обслуживания.