Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа

Рассмотрим объем газа в сосуде в виде куба (рис. 1.1, а) и определим давление на его стенку, например стенку I, перпендикулярную к оси x. В кинетической теории газов предполагается, что давление газа на стенку сосуда создается за счет упругих ударов молекул газа об эту стенку. Массы всех молекул считаются одинаковыми и равными m₀. При упругом ударе кинетическая энергия молекул сохраняется, и, следовательно, сохраняется, абсолютное значение скорости молекулы до и после ее удара о стенку. При упругом ударе под некоторым углом к поверхности стенки (см. рис. 1-1б) средняя сила, действующая на стенку вдоль оси z от соударений многих молекул, равна нулю. Поэтому передача импульса молекулы происходит только в направлении оси x (нормали к стенке). Проекция импульса на ось x изменяет свой знак (рис.1-1б).

Обозначим через n_i количество молекул в единице объема, проекции скорости которых на ось x равны ± υ _ix. Положительная проекция соответствует острому углу между вектором скорости и направлением оси, а отрицательная – тупому углу (см. рис.1-1б). При хаотическом движении количество молекул, имеющих положительные и отрицательные проекции на данную ось можно считать одинаковым и равным n_i /2, так как движение во всех направлениях равновероятно.

Из выделенной группы молекул за промежуток времени D t стенки II с площадью S достигнут лишь те молекулы, скорости которых направлены к стенке, и которые находятся от стенки на расстоянии, не превышающем υ_ix D t, или те молекулы, которые находятся внутри объема D V = Sυ_ix D t. Тогда полное число ударов молекул, содержащихся в объеме D V, о стенку за время D t равно:

. (1.11)

Если до удара молекулы о стенку проекция импульса на ось x была равна m₀υ_ix то после удара она станет равной (– m₀υ_ix₎). Изменение импульса одной молекулы D k_i при ударе молекулы о стенку равно импульсу, который передается стенке

D k_i = m₀υ_ix –(– m₀υ_ix₎) = 2 m₀υ_ix.

Рис.1.1

В результате ударов всех молекул, которые имеют проекцию скорости υ_ix, импульс, передаваемый стенке, будет равен

D K_i = D k_i D N_ix = m₀υ_ix n_iS υ _ixΔt = m₀ n_iS υ _ix²Δt. (1.12)

Чтобы найти общее изменение импульса всех молекул при ударах о стенку D К_х в направлении оси х, нужно просуммировать выражение (1.12) по всем значениям скоростей молекул, т.е. по всем υ _ix:

. (1.13)

Умножим и разделим правую часть (1.13) на концентрацию всех молекул в рассматриваемом объеме, которую обозначим через n:

. (1.14)

Величина в правой части есть среднее арифметическое, или просто среднее значение квадрата проекции скорости υ _ix, которое обозначим . С учетом (1.14) выражение (1.13) примет вид:

. (1.15)

Давление на стенку в направлении оси х будет равно:

. (1.16)

Так как по второму закону динамики F_x= ΔК_х/Δt, то согласно (1.16):

. (1.17)

По закону Паскаля p = p_x = p_y= p_z (p_yи p_z - давление на стенки, перпендикулярные осям y и z, соответственно). Записывая выражения аналогичные (1.17) для давлений p_yи p_z и складывая их, получим:

. (1.18)

Сумма средних квадратов проекций скоростей равна среднему квадрату полной скорости:

. (1.19)

Подставив (1.19) в равенство (1.18), получим:

откуда:

. (1.20)

Формула (1.20) определяет величину давления газа на стенки сосуда. Величину давления можно выразить через среднюю кинетическую энергию, приходящуюся на одну молекулу ε _k. Для этого умножим и разделим на 2 правую часть соотношения (1.20):

, (1.21)

где: . Формула (1.21) связывает давление газа со средней кинетической энергией молекул идеального газа. Эту формулу называют основным уравнением кинетической теории газов.

Пример 1-1. Оценка массы, средней энергии и скорости движения молекул в азоте при нормальных условиях.

Массу молекулы азота можно определить из соотношения (1.8):

При нормальном давлении p =10⁵ Н/м² в 1 м³газа содержится n =
= 2,7 · 10²⁵ молекул (число Лошмидта). Согласно формуле (1.21) средняя кинетическая энергия молекулы равна: