План лекции. Лекция 4. Аналитическая геометрия на плоскости

1 2

Лекция 4. Аналитическая геометрия на плоскости

4.1. Простейшие задачи

4.2. Уравнение линии

4.3. Прямая линия на плоскости

4.4. Линии второго порядка

4.5. Полярная система координат

4.6. Параметрические уравнения линий

4.1. Простейшие задачи

Аналитическая геометрия – раздел математики, в котором изучаются геометрические объекты с помощью алгебраических методов.

Основным методом аналитической геометрии является метод координат.

Рассмотрим простейшие задачи.

1. Расстояние между двумя точками и определяется как длина вектора по формуле =.

2. Координаты точки , делящей отрезок , где , , в данном отношении определяются формулами , .

Рассмотрим вывод этих формул. Очевидно, что =(рис.4.1). , .

Отсюда , .

Из последних соотношений получаем, что , .

Если - середина отрезка , то =1 и , .

Пример. Вычислить длины медиан треугольника с вершинами , , .

Решение. Пусть , , - медианы треугольника , - точка их пересечения (рис.4.2).

Так как - середина отрезка , то , .

, .

Аналогично находим , , , .

4.2. Уравнение линии

Линия на плоскости задается как некоторое геометрическое место точек, обладающих некоторым свойством, исключительно им присущих.

Определение.Уравнением линии на плоскости называется уравнение относительно переменных и , которому удовлетворяют координаты любой точки данной линии и только они.

В общем виде уравнение линии на плоскости в прямоугольных декартовых координатах записывается так: .

Из определения уравнения линии вытекает, что если при подстановке координат точки в данное уравнение получаем тождество, то точка лежит на соответствующей линии; если тождество не получается, то точка не лежит на этой линии.

Чтобы составить уравнение линии, как некоторого геометрического места точек, необходимо:

1) взять произвольную точку линии с текущими координатами , ;

2) записать общее свойство точек данного геометрического места в виде равенства;

3) выразить входящие в это равенство величины с помощью координат.

Точки пересечения двух линий и находят из системы уравнений

Если система имеет действительные решения, то линии пересекаются. Если же действительных решений нет, то линии общих точек не имеют.

4.3. Прямая линия на плоскости

4.3.1. Нормальный вектор прямой. Уравнение прямой,

проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору

Выведем уравнение прямой линии в декартовой прямоугольной системе. Рассмотрим на плоскости произвольную прямую (рис.4.3).

Пусть , .

Вектор называется нормальным вектором прямой. Точка и вектор вполне определяют положение прямой на плоскости .

Пусть - текущая точка прямой .

. (1)

Уравнение (1) есть уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному векто ру.

4.3.2. Общее уравнение прямой

Уравнение (1) есть уравнение первой степени относительно текущих координат и . Покажем, что и, обратно, любое уравнение первой степени

(2)

относительно координат и есть уравнение некоторой прямой, лежащей в плоскости .

Пусть в уравнении (2) . Тогда это уравнение равносильно уравнению

(3).

Но уравнение (3) есть уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Следовательно, и (2) является уравнением этой прямой. Оно называется общим уравнением прямой.

Исследуем уравнение (2).

1. Если =0, то уравнение (2) принимает вид и определяет прямую, проходящую через начало координат.

2. Если , то уравнение (2) принимает вид и определяет прямую, параллельную оси . При эта прямая совпадает с осью .

4.3.3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть в уравнении (2) . Тогда . Обозначая , , получаем уравнение - уравнение прямой с угловым коэффициентом.

4.3.4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку

Из уравнения (1) при ( ) следует .

Обозначая , получаем уравнение - уравнение прямой, проходящей через данную точку.

4.3.5. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть , - фиксированные точки прямой , - текущая точка прямой (рис.4.4). .|| ,

|| - уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть прямая отсекает на осях координат отрезки длиной и (рис.4.5). , .

Отсюда, исходя из уравнения прямой, проходящей через две точки, получаем ,

- уравнение прямой в отрезках.

4.3.6. Каноническое уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой

Рассмотрим на плоскости произвольную прямую . Ее положение вполне определяется заданием точки и вектора || . Вектор при этом называется направляющим вектором прямой (рис. 4.6). - текущая точка прямой.