Основные свойства функции распределения

1. Функция распределения принимает значения из промежутка [0, 1], т.е.

0 ≤ F (x) ≤ 1.

Это свойство следует из определения функции распределения.

2. Если х₂>х₁, то

P (x ₁≤ X < x ₂) = F (x ₂)- F (x ₁). (1)

Доказательство. Представим событие, состоящее в том, что случайная величина примет значение, меньшее х _2,в виде суммы несовместных событий –

{w: X (w) < x ₂} = {w: X (w)< х ₁} È {w: x ₁≤ X (w) < x ₂}.

Так как события несовместные, применим аксиому 3 –

P (X < x ₂) = P (X < x ₁) + P (x ₁≤ X < x ₂),

но P (X < x ₂) = F (x ₂), P (X < x ₁) = F (x ₁), следовательно

F (x ₂) = F (x ₁) + P (x ₁≤ X < x ₂), (2)

а это и означает, что P (x ₁≤ X < x ₂) = F (x ₂)– F (x ₁).

4. Функция распределения – неубывающая функция, т.е. если

x ₂> x ₁ => F (x ₂) ≥ F (x ₁).

Доказательство. Если x ₂> x _1,то справедливо соотношение (2). Но, согласно

аксиоме 1 P(x ₁≤ X < x ₂) ≥ 0,

следовательно, F (x ₂) ≥ F (x ₁).

5. P (X ≥ x) = 1- F (x).

Доказательство. События {w: X (w) ≥ x} и {w: X (w) < x } – противоположные события, так как они несовместные и

{w: X (w) ≥ x }È{w: X (w) < x } = Ω, следовательно,

Р {w: X (w) ≥ x } + Р {w: X (w) < x }=1, тогда Р (X (w) ≥ x) = 1– Р (X (w) < x) = 1 – F (x).

6. Если х ® ¥, то .

Доказательство. Пусть x _1,…, x _n …– бесконечно возрастающая числовая последовательность, x_n → ∞ при n → ∞, надо доказать, что .

Рассмотрим последовательность несовместных событий А ₁, А ₂, …, А _n, …

А ₁= {w: X (w)< x ₁}, А ₂ = {w: x ₁≤ X (w) < x ₂}, …, A _n = {w: x _n_-1≤ X (w) < x _n}, n = 3, 4, …

Очевидно, что событие {w: X (w) < x _n} можно представить в виде суммы событий А ₁, А ₂, …, А _n

{w: X (w) < x _n}= .

Так как события A_i несовместны, то по аксиоме сложения

Легко видеть, что событие, равное сумме всех событий А_i, является достоверным событием, т.е.

= Ω.

Тогда по аксиоме 2 и аксиоме 3` имеем

Замечание. Мы не пишем , так как не определен предельный переход под знаком вероятности.

6. Если x → - ∞, то F (x) → 0.

7. Функция распределения непрерывна слева, т.е. .

Свойства 6, 7 можно доказать при помощи аксиомы непрерывности, которая является альтернативной по отношению к аксиоме 3`. То есть в аксиоматику теории вероятностей вместо аксиомы 3` можно включить аксиому непрерывности, тогда аксиому 3` можно будет доказать как теорему и наоборот, аксиому непрерывности можно доказать с использованием аксиомы 3`.

Аксиома непрерывности. Пусть A ₁, A ₂,.., A_n, … – последовательность событий из S, причём A ₁ A ₂ A ₃… A_n … и , тогда .

Доказательство свойства 6. Рассмотрим произвольную бесконечно убывающую монотонную последовательность

x₁> x₂>…> x_n >…, причём x_n →-∞, n →∞.

Рассмотрим последовательность событий A ₁, …, A_n, …, А_n ={w: (Х < х_n) }. По определению Р (А_n) = Р (Х< х_n) = F (х_n). Очевидно, что последовательность событий A₁, A₂,..., A_n удовлетворяет условиям аксиомы непрерывности: