Распределение Бернулли

Определение 6. Случайная величина Х имеет распределение Бернулли, если P (Х = m) = P_m = p^mq^n-m, m = 0, 1, …, n.

При больших m и n становится проблематичным вычисление по формуле Бернулли. Поэтому в ряде случаев удается заменить формулу Бернулли подходящей приближенной асимптотической формулой. Так если n – велико, а р мало, то .

Теорема Пуассона. Если n ® ¥, а p ® 0, так что np ® l, то .

Доказательство. Обозначим l_n = np, по условию теоремы , тогда

.

При n ® ¥, l _n^m ® l ^m,

Отсюда получаем утверждение теоремы. Р_n (m) ® при n ® ¥.

Формула Пуассона хорошо приближает формулу Бернулли, если npq £ 9. Если же произведение npq велико, то для вычисления Р_n(m) используют локальную теорему Муавра–Лапласа.

Локальная теорема Муавра – Лапласа. Пусть p Î(0;1) постоянно, величина равномерно ограничена, т.е. $ с, |x_m|<с. Тогда

,

где b(n;m) – бесконечно малая величина, причем .

Из условий теоремы следует, что ,

где , .

Для вычисления Р_n(m) по формуле, приведенной рнее, используют таблицы функции

.

Задача 1. В магазин одежды один за другим входят трое посетителей. По оценкам менеджера, вероятность того, что вошедший посетитель совершит покупку, равна 0,3. Составить ряд числа посетителей, совершивших покупку.