Критерий Гурвица

Алгебраические критерии устойчивости

Критерии устойчивости представляют собой правила исследования устойчивости систем без непосредственного решения дифференциальных уравнений.

Критерии устойчивости подразделяются на два больших класса:

- алгебраические критерии устойчивости, которые устанавливают необходимые и достаточные условия отрицательности корней в форме ограничений, накладываемых на определенные комбинации коэффициентов характеристического уравнения;

- частотные критерии устойчивости, определяющие связь между устойчивостью системы и формой частотных характеристик.

При анализе устойчивости систем обычно решают одну или несколько следующих задач:

- оценивают устойчива или неустойчива система при заданных параметрах системы;

- определяют допустимый по условию устойчивости диапазон изменения некоторых незаданных параметров системы;

- выясняют, может ли система при заданной структуре в принципе быть устойчивой.

Критерий Гурвица сформулирован и доказан в 1895 году немецким ученым А. Гурвицем. В первоначальное время он использовался для оценки устойчивости систем до пятого порядка из-за трудности расчета определителей Гурвица высокого порядка. Применение ЭВМ позволило устранить этот недостаток. Кроме того, критерий Гурвица позволяет получать аналитические выражения для исследования влияния какого-либо параметра (параметров) на устойчивость системы.

Система устойчива по критерию Гурвица, если при положительности коэффициентов характеристического уравнения а₀, а₁,…, а_п все п определителей Гурвица D₁, D₂,…, D _п, составленные по определенной схеме, положительны. Если хотя бы один из определителей Гурвица отрицательный, то система неустойчива.

Матрица, по которой вычисляются определители Гурвица составляется следующим образом:

D1	D2	D3	…	Dn-1	Dn
a1	a3	a5	…
a0	a2	a4	…
	a1	a3	…
	a0	a2	…
…	…	…	…	…	…
			…	an-1
			…	an-2	an

- на главной диагонали записываются все коэффициенты характеристического уравнения от а₁ до а_п;

- в каждом столбце выше диагональных коэффициентов записываются коэффициенты с последовательно возрастающими индексами, а ниже – с последовательно убывающими индексами;

- на место коэффициентов с индексами больше п или меньше нуля проставляются нули.

Таким образом, для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы:

. (4.6)