Правило трех сигм

Формула (7.32) может быть использована для вычисления вероятности того, что отклонение случайной величины X, распределенной по нормальному закону от её математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного числа d. Часто такой расчет требуется в практических задачах, т.е. когда требуется найти вероятность осуществления неравенства

(7.33)

Преобразуем (7.33) в

(7.34)

и подставим в формулу (7.32). Поскольку Ф (х) нечетная функция, т.е. Ф (– х) = – Ф (х), имеем:

т.е. вероятность модуля отклонения случайной величины, распределенной по нормальному закону, можно вычислить по формуле:

(7.35)

Если измерять величину отклонения в единицах s, то можно вывести практически полезную закономерность, которая известна как правило трех сигм. Действительно, положим в (5.35) d=s×t. Получим:

Если t =3 и, следовательно, s× t = 3s, то

т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднеквадратичного отклонения, очень велика. Это означает, что вероятность противоположного события, которое заключается в том, что абсолютное отклонение превысит утроенное s, очень мала, а именно равна 0,0027. В этом и состоит сущность правила трех сигм.

Правило трех сигм .

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднеквадратичного отклонения.