Давление жидкости на плоскую стенку

Предположим, что у нас есть плоская стенка, ограждающая резервуар с жидкостью.

Сила, действующая на элементарную площадку:

Эта сила, как и все элементарные силы давления, направлена по нормали к площадке. Следовательно, суммарная сила определится так:

В любой точке жидкости гидростатическое давление

И тогда суммарная сила равна:

Поскольку , постольку уравнение запишется в виде:

Подынтегральное выражение последнего интеграла – это статический момент площадки относительно оси Ох’. В этом случае интеграл – сумма статических моментов, а статический момент площадки относительно оси – это произведение этой площади на расстояние от центра ее тяжести до оси моментов:

Сделав соответствующую подстановку, получим:

Здесь первое слагаемое – атмосферное давление на стенку, второе – давление, оказываемое самой жидкостью.

Учитывая, что , получим:

Таким образом, сила давления жидкости на плоскую стенку равна весу жидкости в объеме цилиндра с основанием, равным площади данной стенки, и высотой, равной глубине погружения центра тяжести этой площади от свободной поверхности.

На практике часто нужно знать гидростатическое давление жидкости на дно сосуда. Согласно вышеприведенной формуле, при вычислении этого давления нужно знать только площадь дна сосуда и высоту столба жидкости над ним. Величина давления совершенно не зависит от формы сосуда:

Точка приложения Д силы давления на плоскую стенку будем определять исходя из следующих соображений: точка Д лежит в плоскости стенки. Для определения ее координат воспользуемся теоремой Вариньона, согласно которой момент равнодействующей системы параллельных сил равен сумме моментов сил ее составляющих.

m (P)_ox = S m(dP)_ox.

Момент силы P равен:

m (P)_ox = Pz_d².

Момент элементарной силы dP равен:

m (dP)_ox = z¢dP.

С учетом этого уравнение моментов запишется в виде:

.

Величины сил P и dP можно определить, как

P = gh_cw = gz_c¢sin a × w;

dP = gz_c¢sin a × dw.

Подставляя записанные выражения в уравнения моментов и решая его относительно z¢d, имеем

или, сокращая числитель и знаменатель на gsina,

.

Здесь числитель представляет собой момент инерции площади w относительно координатной оси Ох:

,

а по теореме о моментах инерции относительно параллельных осей можем написать

J_ox = J_o + z_e¢²w,

где J_o - момент инерции площади w относительно оси, проходящей через центр тяжести площади w и параллельной оси Ох.

Тогда, имеем

или .

Величина К имеет размерность длины и иногда называется эксцентриситетом. Величина К положительна и, следовательно, центр давления (точка D) лежит на большей глубине, чем центр тяжести (точка C) данной площади w (z¢_d > z¢_c).