Лекция 3. Рассмотрим некоторые свойства четных и нечетных функций

Рассмотрим некоторые свойства четных и нечетных функций.

1) Если А(х)-четная функция, т. е. А(х)=А(-х) (например А(х)=х²), то.

2) Если А(х)- нечетная функция, т.е. А(х)=-А(-х) (например А(х)=х),

то .

Если расположить полюс посередине (; ) стержня, тогда, используя свойство нечетной функции, можем записать

; .

Значит, если прямолинейный стержень имеет постоянное сечение по длине стержня, а полюс расположен посередине и при этом жестко связан с незакрепленным концом стержня, то матрица податливости имеет диагональную форму.

В случае диагональной матрицы податливости имеем перемещение полюса только в направлении действия силы.

Для упругих элементов постоянного сечения в случае расположения полюса в точке, совпадающей с центром недеформированного стержня, получаем:

; ;

; ; ;

; .

Система координат, в которой матрица податливости упругого элемента имеет диагональную форму, носит название системы нормальных координат.

В системе нормальных координат при действии в полюсе обобщенной силы, перемещение происходит только в направлении действия силы

.

Пример:

Определим элементы матрицы податливости УЭ постоянного сечения в системе координат, относительно осей и центра которой УЭ обладает симметрией.

Для данного УЭ матрица податливости будет иметь диагональную форму.

; ; ; ; ,

; ; ;

; ; ;

- матрица жесткости

Для диагональной матрицы жесткости

.

Обозначим элементы диагональной матрицы жесткости

;

; ; ;

; ; .