Метод наименьших квадратов

Правила построения графиков

1. График строят на миллиметровой бумаге или бумаге в клетку.

2. Значения аргумента (независимой переменной) следует откладывать по оси абсцисс (горизонтальной оси), а значения функции – по оси ординат (вертикальной оси).

3. На концах координатных осей необходимо указать буквенные обозначения откладываемых величин и через запятую единицы их измерения

4. Перед построением графика необходимо рассчитать масштаб для каждой оси. При этом следует руководствоваться следующими требованиями:

- график функции должен занимать всю площадь, ограниченную координатными осями;

- выбор масштаба по оси абсцисс не зависит от выбора масштаба по оси ординат;

- начало отсчета для каждой оси выбирают так, чтобы оси соответствовали областям изменения откладываемых величин (то есть начало координат может соответствовать целочисленной величине, несколько меньшей наименьшего значения откладываемой величины);

- масштабные деления наносятся на координатные оси через каждые 1-2 см. Цена масштабного деления должна быть кратной 1, 2, 4, 5 или 10.

5. Для обозначения на графике экспериментальных точек используются кружки, треугольники и так далее. Из-за влияния погрешностей измерений точки могут иметь некоторый разброс. Поэтому не следует проводить кривую через все экспериментальные точки. Построенная кривая должна быть плавной и проходить, по возможности, ближе к отмеченным точкам так, чтобы точки, не попавшие на кривую, находились по обе стороны от нее на примерно одинаковых расстояниях.

6. Каждый график должен быть подписан, то есть должно быть указано, зависимость между какими величинами он отражает.

7. Если на графике имеется несколько кривых, то обозначения точек этих кривых должны быть различными. Каждой кривой присваивается номер, а в подписи к графику даются пояснения, при каких условиях получена каждая кривая.

При проведении эксперимента часто измеряют пары величин х и у, причем одна из них является функцией другой величины, например, у = f (х). Затем найденные значения наносят в виде точек на координатную плоскость и пытаются найти кривую, соответствующую алгебраической функции у = f (х), которая проходила бы как можно ближе к точкам. Из теории вероятностей следует, что наилучшим приближением будет такая зависимость, для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от каждой экспериментальной точки до кривой будет минимальной.

Ограничимся рассмотрением случая линейной зависимости y = kx + b. Линейная зависимость очень широко распространена в физике. И даже когда зависимость нелинейная, можно выбрать величины, откладываемые по осям, таким образом, чтобы график рассматриваемой зависимости являлся прямой линией. Например, график зависимости пути от времени при равноускоренном движении строят в осях S = f (t ²), график зависимости частоты собственных колебаний струны от ее натяжения (F) – в осях ν = f (F ^1/2), график зависимости энергетической светимости тела от его температуры (Т) – в осях R _e = f (T ⁴).

Рассмотрим математическую сторону вопроса о нахождении наилучших значений углового коэффициента k и параметра b. При выводе предположим, что ошибки содержат только значения у _i (такое предположение часто оправдывается на практике), иначе анализ весьма усложнится. Отклонение экспериментального значения у _i от искомой линейной зависимости в i -м измерении, то есть при х = х _i, составит:

(11)

Наилучшие значения k и b выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов этих отклонений по всем n измерениям

(12)

была минимальной (отсюда и название – метод наименьших квадратов). Для определения значений k и b, при которых величина S минимальна, приравниваем к нулю частные производные от S по k и b:

(13)

(14)

Искомые величины k и b получаются решением системы уравнений:

(15)

(16)

(n – число измерений x_i и y_i).

Второе уравнение показывает, что наилучшая прямая проходит через точку с координатами:

(17)

Из уравнений (15)-(16) находим угловой коэффициент k и параметр b:

(18)

(19)

Мера качества приближения – средние квадратичные отклонения величин k и b:

(20)

(21)

(22)

Очевидно, что ручная обработка результатов с помощью приведенных формул достаточно трудоемка. Однако применение компьютеров при обработке данных лабораторных исследований позволяет использовать этот достаточно мощный метод. В программах к некоторым лабораторным работам применение метода наименьших квадратов позволяет строить графические зависимости и находить искомые значения параметров с повышенной точностью.