Формула Бейеса (теорема гипотез)

Английский математик Томас Бейес (в русской транскрипции часто пишут Байес, 1730 – 1783) внёс заметный вклад в развитие теории вероятностей, но рассмотренную ниже формулу сам не выводил. Она получена в конце ХVIII века П. Лапласом и названа в честь Бейеса.

Формула Бейеса предназначена для перерасчета вероятностей гипотез после того, как результат опыта стал известен. Иногда говорят, что эта формула применяется для нахождения вероятности «апостериорных» событий (a posteriori по латыни – после опыта).

Пример 21

Пусть в примере 19 известно, что путник пришел в пункт А. Можно ли считать, что вероятности гипотез (если их считать после опыта) были такими же, как и, если бы мы не знали результат опыта?

По-видимому, нет. Если до опыта вероятности всех гипотез считались одинаковыми и равными 1/3 (путник с равными шансами мог выбрать любую дорогу), то при известном результате – путник прибыл в пункт А – логично предположить, что с самого начала он выбрал третью дорогу (она заведомо приведёт в А). Мало вероятно, что при этом могла иметь место 1-я гипотеза.

Вернёмся к решению этого примера ниже. Сначала получим формулу перерасчёта вероятностей гипотез при известном результате опыта.

Обозначим как Р(Н_i/А) – вероятность i- й гипотезы, подсчитанную после того, как стал известен результат опыта (событие А произошло).

Используя формулу умножения вероятностей зависимых событий, записываем вероятность совместного осуществления события А и i- й гипотезы:

Р(АН_i) = Р(Н_i)Р(А/H_i),

Ту же вероятность можно записать и другим способом:

Р(АН_i) = Р(А)Р(Н_i/А).

Приравняв правые части этих выражений, определим условную вероятность того, что при осуществлении события А имела место i- я гипотеза:

Р(Н_i/А) = = . (14)

Формула (14) называется формулой Бейеса. В знаменателе формулы Бейеса стоит формула полной вероятности, а в числителе – одно из ее слагаемых.

Пример 21

Продолжив решение этого примера, найдём вероятность третьей гипотезы при условии, что путник пришел в пункт А.

Р(Н₃/А)= == 6/11.

Пример 22

Два станка изготавливают одинаковые детали, причем производительность первого в 2 раза выше производительности второго. Первый станок производит 60% деталей отличного качества, а второй – 90% таких деталей. Взятая наугад из общей партии деталь оказалась отличного качества. Определить вероятность того, что она изготовлена на первом станке.

Решение: Введём обозначения:

Событие А – произвольно взятая деталь оказалась отличного качества;

Н₁ – произвольно взятая деталь оказалась изготовленной на первом станке (первая гипотеза);

Н₂ – произвольно взятая деталь оказалась изготовленной на втором станке (вторая гипотеза).

Из условия, что производительность первого станка в 2 раза выше производительности второго станка, следует: Р(Н₁) = 2/3; Р(Н₂) = 1/3.

Условные вероятности при первой и второй гипотезах

Р(А/Н₁) = 0,6; Р(А/Н₂) = 0,9.

Применим формулу Бейеса:

Р(А/Н₁) = = = 4/7.