2014-02-24
848
Знакомство с этой важнейшей формулой начнём с примера, которому можно дать название «Задача о неграмотном путнике»
Пример 19
Некий путник вышел из населённого пункта В с целью попасть в населённый пункт А (рис. 28). Из пункта В выходят три дороги, ведущие в пункты Н1, Н2 , и Н3. Путник неграмотный, не может прочитать указатели и выбирает дорогу произвольно. На выходе из пункта Н1 имеется опять три дороги, из которых только одна ведёт в пункт А. На выходе из пункта Н1 имеется опять три дороги, из которых только одна ведёт в пункт А. На выходе из пункта Н2 имеется две дороги, из которых вновь только одна ведёт в пункт А. На выходе из пункта Н3 имеется только одна дорога, которая ведёт в пункт А. Найти вероятность того, что путник придет в пункт А.
Решение. Путник может попасть в пункт А тремя способами:
- или выбрав дорогу на Н1, а затем в Н1 нужную дорогу, ведущую в пункт А;
- или выбрав дорогу на Н2, а затем в Н2 нужную дорогу, ведущую в пункт А;
- или выбрав дорогу на Н3.
Так как в этой фразе присутствует союз ИЛИ, речь идёт о сумме событий и может быть использована формула сложения вероятностей несовместных событий.
|
|
|
В свою очередь для осуществления 1-го варианта необходимо осуществление двух условий: путник выбирает 1-ю дорогу И затем в пункте Н1 – нужную ему, ведущую в А. Вероятность этого события может быть найдена по формуле умножения зависимых событий.
Аналогично может быть найдена вероятность осуществления 2-го и 3-го вариантов. В итоге вероятность что, что путник придёт в пункт А будет найдена по формуле:
Принимая во внимание решение этого примера, получим в общем виде формулу, которую принято называть формулой полной вероятности.
Пусть некоторое событие А может произойти только лишь совместно с одним из k событий Нi, составляющих полную группу и называемых гипотезами. Вероятность i -й гипотезы – Р(Н i). Тогда Р(А/Н i) – условная вероятность события А при i -й гипотезе.
Р(А)=
Р(Н i) Р(А/Н i). (13)
Вероятность события есть сумма произведений вероятностей каждой из гипотез на условные вероятности этого события при данных гипотезах.
Так как гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей всегда равна единице.
Результатом расчёта по формуле полной вероятности всегда является средневзвешенное значение условной вероятности события, т.е. ответ всегда будет лежать в промежутке между максимальным и минимальным значениями условной вероятности.
Пример 20
Кабельная линия электропередачи 80% времени использования работает с номинальной нагрузкой, при которой вероятность её отказа q1 = 0,05. Остальное время линия перегружена, при этом вероятность отказа возрастает до q2 = 0,4. Определить вероятность отказа ЛЭП за весь период эксплуатации.
|
|
|
Гипотеза Н1 – линия работает с номинальной нагрузкой: Р(Н1) = 80/100 = 0,8.
Гипотеза Н2 – линия перегружена: Р(Н2) = (100-80)/100 = 0,2.
Событие А – линия отказала.
Условные вероятности события А при событиях Н1 и Н2:
Р(А/Н1) = q1 = 0,05; Р(А/Н2) = q2 =0,4.
Вероятность отказа линии найдем по формуле полной вероятности:
Р(А) = Р(Н1)Р(А/Н1) + Р(Н2)Р(А/Н2) = 0,8 ∙ 0,05 + 0,2 ∙ 0,4 = 0,12.
