Для многих задач их решением является вероятность появления хотя бы одного из группы событий. Например, гирлянда лампочек не буде гореть, если неработоспособна хотя бы одна из них. Чтобы уехать в нужном направлении с остановки общественного транспорта достаточно, чтобы к остановке подошло хотя бы один из необходимых транспортных средств.
Рассмотрим, как найти такую вероятность.
Пусть даны события А1, А2, А3,…, Аi….Аn. Вероятности их появления в опыте соответственно равны Р(А1), Р(А2), Р(А3),…,Р(Аi)….Р(Аn).
Событие В означает, что произойдет хотя бы одно из событий Аi, т.е. или событие А1, или событие А2, или ….., или любая пара, или любая тройка, или…, или все n событий: В = А1 + А2 + А3 +…+ Аi +….+ Аn.
Вероятность события В является вероятностью суммы n совместных событий - Р(В)=Р(А1 +А2+ А3 +…+ Аi+….+ Аn). Найти эту вероятность можно по формуле сложения вероятностей для совместных событий, но, как известно, эта формула громоздка и неудобна для применения.
Упростить решение можно, если пойти другим путём – перейти к поиску вероятности события - противоположного событию В:
|
|
Это событие будет заключаться в том, что не произойдёт ни одно из событий Аi, т.е. не произойдёт событие А1, и не произойдёт событие А2, и ……. и не произойдёт событие Аn: = 1 2 3 …. i… n.
Вероятность события можно найти по формуле умножения:
Р() = Р( 1 2 3 …. i… n) =. Р( 1)Р( 2)Р( 3) ….Р(i)…Р( n) = .
Тогда Р(В)=1 – = 1 - .(11)
В случае, если вероятности всех событий Аi одинаковы:
Р(А1) = Р(А2) = Р(А3) =…= Р(Аi) =….= Р(Аn)= р,
вероятность появления хотя бы одного события Р(В) = 1 – (1 – р)n (12)
Пример 18
Для схемы рис. 24 определить вероятность отказа системы.
Эта задача была рассмотрена в примере № 16, где отмечалось, что предложенный вариант решения не является рациональным.
Данная схема представляет собой четыре последовательно соединенные элемента (генератор, два трансформатора и линию). Таким образом, система откажет, если откажет хотя бы один элемент и используя формулу (11) получаем простое решение: Qс = 1 – Рс = 1 –.(1 - q г) (1 - q т1) (1 - q л)(1 - q т2) = 1 – ргрт1рлрт2.
При увеличении числа последовательно соединенных элементов в конечном выражении добавятся дополнительные сомножители по количеству добавленных элементов.
Обобщая вышеизложенную информацию, можно составить алгоритм решения задач по расчёту надежности (рис.27).