Формула полной вероятности и формула Байеса

Пример. Штамповочный цех отправил в ОТК два контейнера штампованных деталей. Первый контейнер содержит 20000 деталей, 5% которых являются браком. Второй контейнер содержит 10000 деталей с 1% бра­ка. Детали из обоих контейнеров были перемешаны, после чего контро­лер берет наудачу из общей партии одну штампованную деталь. Какова вероятность того, что деталь будет бракованной? Для расчета вероятности введем следующие обозначения: событие А - выбор исходной детали; событие В₁- выбор из общей партии детали, которая раньше находилась в первом контейнере, В₂ - во втором контейнере. Вероятность выбора бракованной детали из первого контейнера- Р(А/В₁)= 0,05; из второго- Р(А/В₂)=0,01.

Вероятность Р(В₁)= 2000/3000= 2/3; Р(В₂)= 1/3. Теперь можно подсчитать: Р(А)= 2/3х0,005+1/3х0,01=0,037.

Сформулируем следующую теорему:

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁,В₂,…,В_n, образующих полную группу, равна сумме вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А)= Р(В_i)P(А/В_i)-формула полной вероятности.

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В _n, образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какие из этих событий наступят, их называют гипотезами. Вероятность появления события определится по формуле полной вероятности:

P(А) = Р(В_i)Р(А/В_i).

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить: как изменились (в связи с тем, что появилось событие А) вероятности гипотез, т.е. найти Р(В₁/А), Р(В₂/А) и так далее.

Найдем сначала Р(В₁). По теореме умножения вероятностей

Р(АВ₁) = Р(А)Р(В₁) = Р(В₁)Р(А/В₁); Р(В₁/А) = Р(В₁)Р(А/В₁)/Р(А),

но Р(А) =Р(В_i)P(А/В_i). Окончательно запишем:

Р(В₁/А) = Р(В₁)Р(А/В₁)/Р(В_i)Р(А/В_i), а в общем виде формула примет вид:

Р(В_i/А)= Р(В_i)Р(А/В_i)/ Р(В_i)Р(А/В_i) – - формула Байеса.

Пример. На предприятии имеется 3 станка одного типа. Один из них дает 20% продукции, второй - 30%, третий - 50%. При этом первый станок дает 5% брака, второй - 4%, третий - 2%. Найти вероятность того, что случайно отобранное бракованное изделие выпущено первым станком.

Пусть событие В_i обозначает принадлежность изделия i- му станку (i=1, 2, 3). Тогда Р(В₁) =20/100 = 0,2; Р(В₂) = 0,3; Р(В₃) = 0,5. Соответственно Р(А/В₁) = 0, 05; Р(А/В₂) = 0,04; Р(А/В₃) = 0, 02. Подставив данные в формулу Байеса, получим

Р(В₁/А) = 0,2х0,05/0,2х0,5+0,3х0,04+0,5х0,02 = 0,031

1.6. Частная теорема о повторении опытов.

При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие А, причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события А в результате серии опытов, причем опыты могут быть независимыми или зависимыми. Мы будем рассматривать случай только независимых опытов.