Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты

Независимые опыты могут производиться в одинаковых или в различных условиях. Будем рассматривать только одинаковые условия.

Рассмотрим следующий пример: производится 3 независимых выстрела по мишени, вероятность попадания в которую при каждом выстреле равна р. Найти вероятность того, что в мишени будет ровно 2 пули. Это событие может произойти тремя способами:

1) –1+2+ 3 (промах, попадание, попадание);

2) +1- 2+ 3 (попадание, промах, попадание);

3) +1+ 2- 3 (попадание, попадание, промах).

А = А₁ А₂ А₃+ А₁ А₂ А₃ + А₁ А₂ А₃

В общем случае, если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то вероятность того, что событие А появится ровно m раз, выражается формулой

Р_m,n = Cр(1-р), (С= n!/(n-m)!m!)

Это распределение называется биномиальным, так как вероятности Р_m,n по форме представляют собой члены разложения бинома (q+p)ⁿ.

Пример. Из партии изготовленных автоматом втулок наудачу отбираются 100 деталей, у которых контролируется диаметр. Втулка дефектна, если ее размер не укладывается в заданное поле допуска. Пусть известно по опыту, что средний процент брака для втулок дан­ного вида составляет 3%. Какова вероятность того, что среди 100 втулок будет точно 3 дефектных?

Запишем сокращенно: р = 0,03; q = 1-p = 0,97; n = 100; P_(x=3)-? P_(X=3) = 100! 0,03³ 0,97^100-3 / 97! 3!

Пример. Завод изготавливает изделия, каждое из которых с вероятностью r (независимо от других) оказывается дефектным. При осмотре дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью p. Для контроля продукции завода отбирается n изделий. Найти вероятность события A - обнаружить среди n изделий ровно в двух деталях дефект:

P(A) = C(pr)²(1-pr)^n-2, где pr – вероятность обнаружить дефект.