Проверка гипотезы равенства двух выборочных средних

(закон распределения нормальный).

Предположим, что из одной и той же генеральной совокупности взяты две выборки, которые для величины X дают средние ₁ и ₂ отличные друг от друга. Требуется узнать, случайно ли это расхождение. Этот вопрос имеет важное значение для исследователя при проведении опытов. Если расхождение между ₁ и ₂ будет существенным, то это может указать на ошибки в опытах или в методике их выполнения, тогда как случайность их расхождения указывает на отсутствие этих ошибок. Подобный вопрос возникает и при исследовании влияния разных факторов на изучаемый признак. Если опыт с фактором А и без него дали отличные друг от друга ₁ и ₂, то при случайном отличии значений их очевидно, что фактор А не влияет на исследуемый признак и, наоборот, влияет при существенном расхождении между ₁ и ₂. Наконец, может на практике возникнуть и такой вопрос: принадлежат ли выборки одной и той же генеральной совокупности? И этот вопрос можно оценить, сравнивая выборочные средние ₁ и ₂. Если выборки взяты иэ одной и той же генеральной совокупности, то расхождение между ₁ и ₂ будет случайно.

Оценка расхождения двух выборочных средних производится с помощью t -критерия Стьюдента:

t = ,

где n₁ и n₂ - объемы выборок; ₁ и ₂, Sи S - их средние и дисперсии.

По вычисленному значению t по таблицам выбирается вероятность P(t) в зависимости от числа степеней свободы r = n₁ + +n₂ – 2. Если эта вероятность будет мала (P(t) 0,05), то гипотеза о несущественном, случайном расхождении между ₁ и ₂ должна быть забракована. Если P(t) > 0,05, гипотеза принимается.

Рассмотренный метод сравнения и оценки расхождения выборочных средних пригоден для малых выборок, когда объем n < 25. Если n > 25, то t удобнее вычислять по формуле:

t = .

Пример. С двух позиций рабочего ротора линии 1 ЛГ -307 были взяты в одно время 2 выборки по 5 шт. каждая. Измерялась глубина гнезда, чертежный размер которого 3^+0,18. Результаты измерения приведены в таблице.

№ выборки	№ детали		S2
	3,05	3,08	3,10	3,09	3,08	3,084	0,0004
	3,10	3,15	3,05	3,08	3,10	3,096	0,0013

Пусть гипотеза заключается в том, что генеральные средние в момент взятия выборок были равны между собой, т.е. ₁ = ₂. Другими словами настройка первой и второй позиций рабочего ротора одинакова.

Так как число опытов в каждой из серии опытов меньше n < 25, то значение t вычисляем по формуле :

t== 0,58

Уровень значимости примем равным 0,05. Подсчитаем число степеней свободы r: r = n₁ + n₂ – 2 = 5 + 5 – 2 = 8. Табличное значение Р(t) = 0,6> 0,05. Следовательно, позиции рабочего ротора настроены одинаково.

Примечание. Если выборки взяты из генеральной совокупности, распределение которой не следует закону нормального распределения, то оценка расхождения двух выборочных средних возможна лишь приближенно. Для этой цели также определяется величина t по тем же формулам. Если в результате окажется что t 3, то с большой вероятностью (которая, однако, остается неопределенной) можно считать, что средние ₁ и ₂ различаются существенно, если t < 3 - расхождение случайно.