Принятие решений после построения модели процесса

Умение пользоваться методами планирования эксперимента должно дополняться способностью к принятию решения на любой стадии моделирования исследуемого процесса. Многообразие ситуаций, в которых приходится принимать решения, делает невозможным выработку конкретных рекомендаций. Тем не менее, существуют типичные ситуации, в которых принимаются типичные решения независимо от характера исследования. Типичные ситуации будем paзличать по адекватности и неадекватности модели, значимости и не значимости коэффициентов регрессии в модели информации о положении оптимума.

Как правило, на первой стадии моделирования выдвигается гипотеза о линейной взаимосвязи параметра оптимизации с исследуемыми факторами. В результате анализа модели гипотезу можно подтвердить, если полученная модель окажется адекватной, иди забраковать в случае неадекватности уравнения. Какое решение надо принимать в том или ином случае? Обсудим сначала принятие решения для адекватного линейного уравнения.

Линейная модель адекватна. Тогда возможны триварианта ситуации:

1. Все коэффициенты регрессии значимы.

2. Часть коэффициентов регрессии значима, часть – нет.

3. Все коэффициенты незначимы.

В каждом варианте оптимум может быть близко, далеко или о его положении нет информации (неопределенная ситуация).

Если область оптимума близка, возможны три решения: окончание исследования, переход к планам второго порядка и движение по градиенту.

Переход к планированию второго порядка дает возможность получить математическое описание области оптимума и найти экстремумы.

Решение при неопределенной ситуации или удаленной области оптимума одно и то же: движение по градиенту.

. Второй вариант - часть коэффициентов регрессии значима, часть – нет. На этом этапе важно выдвинуть гипотезы, объясняющие не значимость эффектов. Это может быть и неудачный выбор интервалов варьирования, и включение факторов, не влияющих на параметр оптимизации, и большая ошибка опыта и т.д. Решение зависит от того, какая гипотеза предпочитается.

Если, например, выдвинута первая гипотеза, то необходимо расширить интервалы варьирования по незначимым факторам и поставить новую серию опытов. Изменение интервалов варьирования тогда сочетается с переходом центре эксперименте в точку, соответствующую условиям наилучшего опыта. Не влияющие факторы стабилизируются и исключаются из дальнейшего рассмотрения. Другие возможные решения для получения значимых коэффициентов следующие; увеличение числа параллельных опытов и достройка плана. Увеличение числа параллельных опытов приводит к уменьшению дисперсии воспроизводимости и соответственно дисперсии коэффициентов регрессии. Опыты могут быть повторены или во всех точках плана, или в некоторых. Достройка плана осуществляется несколькими способами: переходом к полному факторному эксперименту; переходом к реплике меньшей дробности, переходом к плану второго порядка (если область оптимума близка).

Наконец, если область оптимума близка, то возможно принятие таких же решений, как и в случае значимости всех коэффициентов регрессии.

Рассмотрим последний вариант: линейная модель адекватна, все коэффициенты регрессии незначимы. Чаще всего это происходит вследствие ошибки эксперимента или узких интервалов варьирования. Поэтому, возможные решения направлены, прежде всего, на увеличение точности эксперимента и расширение интервалов варьирования. Увеличение точности может достигаться двумя путями: благодаря улучшению методики проведения опытов или вследствие постановки параллельных опытов. Если область оптимума близка, то возможно окончание исследования.

Линейная модель неадекватна. Для неадекватной модели нет необходимости делать различия между случаями значимых и незначимых линейных коэффициентов регрессии, поскольку решения для них обычно совпадают.

Решения, принимаемые для получения адекватной модели следующие: изменение интервалов варьирования факторов, перенос центра плана, достройка плана. Наиболее распространенный прием - изменение интервалов варьирования. Он требует постановки новой серии опытов.

Иногда возможность движения по градиенту проверяется несколькими методами. Решение может быть таким: включение в модель эффектов взаимодействия и движение по градиенту с помощью неполного полинома второго порядка. Если область оптимума близка, то возможно окончание исследования и переход к построению плана второго порядка.

Пример 6.5 Исследуем влияние различных факторов на разностенность изделия при вытяжке с утонением в среднем сечении. В качестве независимых переменных выбраны следующие факторы:

Х₁- угол вытяжной матрицы, Х₂- угол между осью пуансона и направлением хода ползуна, Х₃ - обжатие, Х₄ - разностенность заготовки в среднем сечении, Х₅ - предел текучести (табл.6.12).

Таблица 6.12

Обоз-начение факто-ров	Размер- ность	Область эксперимента
Нижний уровень “-“	Основной уровень “0”	Верхний уровень “+” Ень	Интервал варьирования.
Х1 Х2 Х3 Х4 Х5	Град Рад. % мкм Па	-5 .0,00156 8.09.810	11,5 0,00233 32,5 12,0	0,00310 16,0	6,5 0,00078 17,5 19,5 4,0

Постулируется линейная модель. y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃+b₄x₄+b₅x₅.

При планировании эксперимента используем ¼-реплику от полного факторного эксперимента 2, что позволяет ограничиться восемью опытами при проведении эксперимента вместе32. Приравняем х₄ к тройному взаимодействию х₁х₂х₃, а х₅ к х₁х₂ Обобщающий определяющий контраст запишется так:

1= х₁х₂х₃х₄=-х₁х₂х₅= -х₃х₄х₅.

Совместные оценки такой ¼-реплики таковы:

b β₁-β₂₅+β₂₃₄-β₁₃₄₅; b₂ β₂-β₁₅+β₁₃₄-β₂₃₄₅; b₃β₃-β₄₅+β₁₂₄+β₁₂₃₅;

b₄β₄-β₃₅+β₁₂₃-β₁₂₄₅; b₅ β₅-β₁₂-β₃₄-β₁₂₃₄₅;

Так как предполагается линейная модель, взаимодействиями факторов всех порядков можно пренебречь (табл. 6.13).

Таблица 6.13

№ опыта	Х0	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
bj.	+ + + + + + + + 36,1	- + - + - + - + 1,9	- - + + - - + + 0,1	- - - - + + + + -2.9	- + + - + - - + 11,1	- + - - - + + - -3,4	22,0 50,0 38,0 35,0 53,0 19,0 24,0 48,0

В нижней строке таблицы приведены коэффициенты регрессии линейного уравнения, рассчитанные по ранее рассмотренной методике

(см.п.6.3.4.). Таким образом, зависимость разностенности от выбранных факторов определяется по следующему уравнению:.

=36,1+1,9 x₁ +0,1 х₂ -2,9 x₃ +11,1 x₄ -3,4 x₅

Рассмотренные дробные реплики образованы делением полного факторного эксперимента на число частей, кратное двум. Эти реплики называются регулярными. Существуют нерегулярные реплики типа ¾, ³/₈ и т.д.

Дробные реплики широко применяются при получении линейных моделей. Эффективность их применения зависит от удачного выбора системы смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия, а также от умелой стратегии экспериментирования в случае значимости некоторых взаимодействий. Следует, однако, иметь в виду, что применение дробного факторного эксперимента имеет серьезный недостаток; исключение из исследования некоторых взаимодействий факторов, которые часто представляют особый интерес, так как анализ взаимодействий может помочь раскрыть сущность процесса.

8.5Рандомизация опытов.

Чтобы исключить влияние систематических ошибок, вызванных внешними условиями (переменной температуры, сырья и т.д.), рекомендуется случайная последовательность при постановке опытов, запланированных матрицей, т.е. опыты необходимо рандомизировать.

Рассмотрим пример рандомизации условий эксперимента. Проводится факторный эксперимент 2³. Предположим» что каждое значение параметра оптимизации определяется по двум параллельным опытам. Нужно случайно расположить все 16 опытов. Присвоим параллельным опытам номера с 9 по 16. Тогда опыт 9 будет повторим по отношению к опыту 1, опыт 10 - к опыту 2 и т.д. Следующий этап рандомизации - использование таблицы случайных чисел (такие таблиц проводятся в руководствах по математической статистике). В случайном месте таблицы вписываются числа с 1 по 16 отбрасыванием чисел больше 16 и уже выписанных. Можно также рекомендовать следующий способ. Заготавливаются и нумеруются 16 карточек, которые затем тщательно перемешиваются и раскладываются. Предположим, что в результате получена такая последовательность: 2, 15, 9, 5, 12, 14, 8, 13, 16, 1, 3, 7, 4, 6, 2, 10. Это значит, что первым реализуется опыт 2, вторым - опыт 15 и т.д. Выбранную случайным образом последовательность нарушать не рекомендуется