Синтез СУ. Методы синтеза

Содержание

Библиографический список

Степенная (мультипликативная) функция. Приведение к линейной регрессии

Обратные преобразования

Обобщенная обратная модель

y_i = b_o + b₁(1/x_i) + e_i. (92)

Она не линейна по переменной x, но линейна по параметрам b_o и b₁ и поэтому является линейной регрессионной моделью.

Действительно, обозначим 1/x_i = z, тогда

y_i = b_o + b₁z_i + e_i (93)

Модель (92) имеет свои особенности: когда x стремится к бесконечности, величина b₁(1/x_i) стремится к нулю, а y – к граничному значению.

Выборочная обратная модель соответственно имеет вид

y = b_o + b₁·1/x_i + e, (94)

где b_o и b₁ - неизвестные параметры, которые необходимо определить; e – ошибка.

Вид модели (94) в значительной степени зависит от знака параметров b_o и b₁.

Наклон модели (94) определяется по формуле ¶y/ ¶x = -b₁(1/x).

Он положительный, когда b₁ < 0, и отрицательный, когда b₁>0.

Степенная функция широко применяется на практике для описания большого спектра экономических процессов. Она имеет вид:

y = ax^b. (95).

Действительно, основной вопрос состоит в том, чтобы определить неизвестные параметры мультипликативной кривой. Путем логарифмического преобразования мы можем привести степенную кривую, так же, как и экспоненциальную, к линейной функции, что дает нам возможность вычислить неизвестные параметры методом МНК. Действительно, логарифмируя правую и левую части (см. уравнение (95)), получаем:

ln y = ln a + b ln x;

ln y = z, ln a = b_o, ln x = x₁ Þ z = b_o + b₁x₁.

На практике степенные функции применяются для описания различных экономических процессов. Наиболее известная из них - это производственная функция Кобба-Дугласа. Кроме этого, они используются для описания спроса на товары различных категорий (так называемая кривая Торнквиста).

Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрии: Учебник. – М.: ЮНИТИ, 1998.

Бородич С.А. Эконометрика: Учеб. пособие. – Минск: Новое знание, 2001.

Винн Р., Холден К. Введение в прикладной эконометрический анализ. – М.: Статистика, 1981.

Грубер Й. Эконометрия: Учеб. пособие для студентов экономических специальностей. В 2 т. – М.: Прогресс, 1996. – Т.1. Введение в эконометрию.

Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: Финансы и статистика, 1999.

Дрейпер Смит. Прикладной регрессионный анализ. – М.: Мир, 1988.

Елисеева И.И. Эконометрика. – М.: Финансы и статистика, 2002.

Введение в эконометрическое моделирование / А. Клас, К. Геркпи, Ю. Колен, И. Шуян. – М.: Статистика, 1978.

Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пресецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. – М.: Дело, 1998.

Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. В 2 т. Т. 1,2. – М.: Статистика, 1975-1976.

Наконечний С.І. Економетрія: Навч.-метод. посібник. К.: КНЕУ, 2001.

1. Эконометрия и ее место в ряду математико-статистических и эконометрических дисциплин. 3

2. Эконометрическая модель и проблемы эконометрического моделирования 5

3. Основные понятия эконометрического моделирования. 10

4. Основные этапы и проблемы эконометрического моделирования. 12

5. Модель парной регрессии. 15

6. Метод наименьших квадратов (МНК) 16

7. Уравнения в отклонениях. 17

8. Геометрическая интерпретация. 18

9. Матричная форма записи. 19

10. Линейная регрессионная модель с двумя переменными. 19

11. Основные гипотезы.. 20

12. Коэффициенты корреляции и детерминации. 22

13. Статистические свойства МНК-оценок параметров регрессии. Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии. 25

14. Распределение оценки дисперсии ошибок S² 25

15. Независимость S² и МНК-оценок ...... 27

16. Проверка гипотезы b=b₀ 27

17. F-статистика. 29

18. Прогнозирование по модели простой линейной регрессии. 31

19. Модель множественной регрессии. 33

20. Основные гипотезы.. 33

21. Метод наименьших квадратов. Теорема Гаусса-Маркова. 34

22. Теорема Гаусса-Маркова. 35

23. Статистические свойства МНК-оценок. Оценка дисперсии ошибок s². Распределение S² 37

24. Независимость оценок и S² 38

25. Анализ вариации зависимой переменной в регрессии. Коэффициенты R² и скорректированный R²_adj 39

26. Что «лучше»: Y или ?. 42

27. Проверка статистических гипотез. Доверительные интервалы и доверительные области. 42

28. Определение интервалов доверия для параметров многофакторной регрессии. 45

29. Прогнозирование по многофакторной регрессионной модели. 45

30. Построение интервалов доверия для математического ожидания зависимой переменной. 46

31. Построение интервалов доверия для отдельного значения зависимой переменной. 46

32. Кривые роста. 46

33. Простейшие преобразования нелинейных моделей в линейные. Экспоненциальная функция. Приведение к линейной регрессии. Оценка неизвестных параметров. 47

34. Обратные преобразования. 48

35. Степенная (мультипликативная) функция. Приведение к линейной регрессии 48

Библиографический список. 50

Задача синтеза в том, чтобы выбрать структуру, параметрические характеристики систе6мы и технические средства реализации, так, чтобы удовлетворить совокупности заданных требований.

При проектировании из-за многоплановости и разнохарактерности сформировать единый критерий невозможно, поэтому общая задача синтеза разбивается на ряд задач:

1) определение структуры и параметров задачи;

2) формирование функциональной и принципиальной схемы;

3) выбор средств технической реализации системы;

4) конструирование аппаратуры, разработка программного обеспечения

Наиболее характерным при синтезе является задание объекта управления с исполнительными устройствами предоставляющими неизменную часть.

Выбору и расчёту подлежат усилительные, преобразующие и корректирующие устройства, составляющие изменяемую часть схемы. В ряде случаев к неизменяемым частям схемы относят усилительные и преобразующие устройства.

Заданная точность СУ обеспечивается соответствующим выбором коэффициентов передачи разомкнутой системы К>= А (заданный коэффициент передачи).

Для статистической системы стабилизации и программного управления при постоянных задающей g(t)=g0, и возмущающих f(t), составляющих воздействие:

где Wi(0) - передаточная функция разомкнутой системы по возмущающему воздействию

Хмах - максимально допустимое значение ошибки системы без учёта ошибки чувствительного элемента.

Программная система с неединичной ОС связью или с масштабированием

, где DK возможные относительные изменения коэффициента передачи разомкнутой системы.

Астатическая система по одному или нескольким возмущающим воздействиям -

,где bi - коэффициенты пропорциональности между возмущением и скоростью изменения управляемой величины; n - число таких возмущений. m=1, 2... и т.д.

Следует учитывать, что полученное значение коэффициента передачи по соотношениям, в ряде случаев настолько велико, что ухудшает свойства системы.

Для обеспечения приемлемости уменьшают значение коэффициента передачи, а для достижения точности при меньших значениях К, следует повысить порядок астатизма системы на единицу по одному или нескольким возмущающим воздействиям. Последнее достигается введением в схему интегрирующего звена. но это может также привести к увеличению ошибки в системе и для уменьшения ошибки следует вводить управление по первой и второй производной ошибке системы.

При одновременном воздействии на систему полезного (задающего постоянными, медленно меняющимися возмущающими и помехами) надо решать задачу минимизации ошибок системы.

Коррекция СУ.

Осуществляется при помощи корректирующих устройств изменение м коэффициента передачи, постоянных времени - параметрическая оптимизация.

Для улучшения параметров качества системы - запас устойчивости.

Для коррекции структуры СУ вводится дополнительное корректирующее устройство, представляющее собой динамические звенья со специально выбранным передаточными функциями.

Составляющие пропорциональные интеграла и производной от сигнала ошибки могут быть введены как параллельной и последовательной коррекцией. С их помощью могут реализовываться сложные законы. Составляющие пропорциональный закон чувствительности системы к помехам.

Составляющие пропорциональных интегралов повышают точность на уменьшают запас устойчивости.

Отрицательные корректирующие ОС изменяют динамические свойства системы, уменьшают влияние нелинейности звеньев, повышают стабильность коэффициента усиления при воздействии дестабилизирующих факторов.

Простейшими корректирующими устройствами являются пассивные 4-х полюсники, реализующие передаточные функции реальных дифференцирующих инерционных и интегро-диффиренциональных звеньев.

Активное корректирующее устройство реализуется на операционных усилителях. Также широко используются нелинейные корректирующие устройства и дискретные корректирующие у-ва реализованные на цифровых ЭВМ или аппаратно на линиях задержки.

Нелинейные корректирующие устройства при больших сигналах рассогласования уменьшают демпфирование системы, что расширяет её полосу пропускания и делает её более резкой.

При уменьшении сигнала рассогласования дифференцирования увеличивается, что снижает полосу пропускания, замедляет реакцию системы, уменьшая значение перегруппирования.

Предварительный выбор структуры корректирующего устройства может быть сделан на основе передаточной функции неизменяемой части системы.

Если п.ф. системы имеет вид:

то в области частоты среза имеется отрицательный запас по фазе. для обеспечения необходимых динамических качеств такие системы надо вводить корректирующие устройства опережающие по фазе. Если неизменная часть системы содержит слабо демпферированные консервативные звенья, то могут быть использованы устройства подавляющие высокие и средние частоты, создающие отрицательный фазовый сдвиг без изменения амплитудной характеристики.

Один из самых наглядных методов построен на основе требований предъявляемых к системе по точности, запасу устойчивости и быстродействию.

Процесс синтеза по методу ЛАЧХ включает этапы:

1) построение ЛАЧХ на основе требований по точности, запасу устойчивости и быстродействию;

2) определение вида и параметров корректирующего устройства;

3) техническая реализация устройства;

4) проверочный расчёт и построение п.п.;

Использование метода Солодовникова и Бессекерского:

В основе - временные качества системы:

перегруппирование, время п.п. коэффициенты ошибок.

В основе метода Бессекерского положены частотные качества:

n ошибка при воспроизведении гармонического входного сигнала;

n показатель колебательности замкнутой системы, характеризующий её запас устойчивости.

Задача синтеза упрощается, при использовании метода стандартных коэффициентов. Сущность метода: в соответствии астатизма системы и передаточной функции её неизменяемой части с помощью значений стандартных коэффициентов выбирается приемлемый п.п. и соответствующая ему передаточная функция.

Основной недостаток - наличие большого числа варьируемых параметров.

В случаях, когда структура корректирующего устройства известна и надо выбрать некоторые параметры при известных остальных - реализуют метод квадратичных интегральных оценок.

Для систем невысокого порядка существуют готовые формулы, выражающие интегральные квадратичные оценки через коэффициенты передаточной функции.

Для выбора систем 3-го порядка используют диаграмму Виногородского с нанесёнными линиями равной степени устойчивости, затуханий и значений квадратичной интегральной оценки.