Простейшие преобразования нелинейных моделей в линейные. Экспоненциальная функция. Приведение к линейной регрессии. Оценка неизвестных параметров

Кривые роста

Кривые роста описывают различные тенденции экономических процессов, например, жизненный цикл товара, процесс наращивания капитала, маркетинговые усилия фирм и т.д. Экономическая практика накопила определенный опыт и определенные типы кривых, которые достаточно часто используются в макро- и микроэкономических исследованиях. К таким кривым относятся:

– экспоненциальная: y = ab^x;

– степенная: y = ax^b;

– обратная: y = b_o + b₁ 1/x.

Обобщенная эконометрическая модель имеет следующий вид:

Y = f(x) + e,

где f(x) – одна из функций роста; e – случайная величина.

Экспоненциальная функция может принимать различные численные значения эквивалентных форм:

, основная форма b > 0; (87)

, β заменяем на , где b₁ = ln (b); (88)

, b заменяем на (1-r), где r = b-1; (89)

, где a заменяем на и b на ; (90)

, где a заменяем на и b на . (91)

Все эти формы используются на практике для описания различных экономических процессов, например, форма (89) чаще применяется в финансах. В данном случае r интерпретируется как норма годового процента.

В основном экспоненциальные кривые используются для описания быстро возрастающих или убывающих экономических процессов. При этом:

если b > 0 (b₁ > 0), функция растет до бесконечности;

если b < 0 (b₂ < 0), функция убывает до нуля.

Сведение экспоненциальной кривой к линейной функции

Путем логарифмического преобразования мы можем легко привести экспоненциальную кривую к линейной функции, а это, в свою очередь, дает нам возможность вычислить параметры линейной регрессии методом МНК:

; ln(y) = ln(a) + x ln(b);

; ln(y) = ln(a) + b1x;

; ln(y) = ln(a) + x ln(1-r);

; ln(y) = b_o + b₁x;

; log(y) = b_o + b₁x.