2014-02-24
2062
При значительных скоростях нагрева в пластине могут возникать термические напряжения, превышающие допустимые для данного материала, приводящие в некоторых случаях даже к разрушению пластины.
В этом разделе получим формулы для расчета термических напряжений, возникающих при нагреве или охлаждении.
Согласно литературным данным, например [7], для определения температурных напряжений в бесконечно большой пластине толщиной 2d при симметричном распределении температур можно воспользоваться следующим выражением:
, (4.1)
где sу(х,t) и sz(х,t) – нормальные составляющие напряжения, параллельные осям y, z, Па;
b - линейный коэффициент температурного расширения, 1/К;
Е – модуль упругости Юнга на растяжение и сжатие, Па;
v - коэффициент Пуассона;
t(x) – текущая температура, определенная выше решением (3.4).
4.1. Аналитический расчет термических напряжений при конвективном нагреве плоских тел
Без знания температурных полей и термических напряжений внутри массивного тела невозможно назначить рациональные энерго- и материалосберегающие тепловые и температурные режимы печей или других агрегатов, связанных с тепловой обработкой материалов, например, сушильных установок, химических реакторов и т. п. При значительных скоростях нагрева в пластине могут возникать термические напряжения, превышающие допустимые для данного материала, приводящие в некоторых случаях даже к разрушению тела.
|
|
|
После подстановки в уравнение (4.1) в предположении независимости от температуры механических свойств b, Е, 
полученное ранее температурное поле пластины (3.4) в безразмерном виде получим формулу для расчета относительных термических напряжений в любой точке неограниченной пластины при ее конвективном нагреве в печи с постоянной температурой греющей среды tc:
, 
(4.2)
на поверхности при Х =1
=
(4.3)
и в центре пластины при Х =0
=
, (4.4)
где
— безразмерные термические напряжения, 
;
s 0 = bЕDt 0 / (1 –n) — максимально возможные термические напряжения, Па.
Здесь относительные температуры:
в любой точке 
, (4.5)
на поверхности
, (4.6)
в центре
(4.7)
и среднемассовая
,(4.8)
где 
= (t (τ) –t c)/ Dt 0; Dt 0 = t 0 – tc; t 0 —начальная температура тела, °С;
Fо = aτ / R 02- число Фурье; Вi= αR 0/ λ – число Био;
– тепловая амплитуда;
;
;
; 
;
– собственные числа, определяемые характеристическим уравнением:
. (4.9)
Решая совместно уравнения (4.3) и (4.4), можно получить формулу связи между термонапряжениями в центре и на поверхности
, (4.10)
где относительный перепад температур получается путем вычитания из (4.6) уравнения (4.7)
(4.11)
в котором 
.
Из анализа уравнений (4.3), (4.4), (4.10) и (4.11) следует, что динамика изменения напряжений во времени аналогична изменению температурной разности, т.е. резко возрастают, достигая максимального значения при числах Фурье Fomax = 0,05…0,50, а затем постепенно падают, т.е. носят колоколообразный характер.
|
|
|
На практике иногда важнее знать не всю динамику изменений напряжений во времени, а только их максимально возможные характерные величины. Целью данного раздела является аналитическое определение указанных величин.
Дифференцируя уравнения (4.3), (4.4) и (4.11) по времени, приравнивая производную нулю и используя два члена суммы ряда, получим формулы для расчёта максимальных времен Фурье:
для максимального термического напряжения на поверхности
, (4.12)
перепада температур
(4.13)
и термонапряжения в центре
, (4.14)
где 
; 
; 
; 
; 
.
Здесь и далее под 
понимается амплитуда 
.
Подставляя Fо mах из (4.13) в уравнение (4.11), получим максимальный перепад температур с учётом двух членов ряда:
. (4.15)
При выводе (4.15) было учтено, что согласно уравнению (4.13) 
.
По аналогии подставляя 
в уравнение (4.3), получим максимальное термическое напряжение на поверхности
(4.16)
и после подстановки (4.14) в (4.4) — максимальное напряжение в центре пластины 
. (4.17)
