Иррегулярный режим нагрева

При малых временах процесса имеем иррегулярный или инерционный период нагрева, когда температура в центральных точках тела вследствие тепловой инерции практически равна начальной температуре , т. е. .

При очень малых числах Фурье расчёт температур по уравнению (3.4) затруднителен из-за необходимости учёта большого количества членов ряда, ввиду его плохой сходимости. В этом случае можно использовать решение, полученное методом операционного исчисления для малых времен процесса в работе [3]:

, (3.24)

где ; .

Полагая в уравнении (3.24) , получим выражение для расчета поверхностной температуры на начальной стадии нагрева

, (3.25)

где ;

– дополнительный интеграл вероятностей;

- функция ошибок Гаусса;

- безразмерное время, число Тихонова, может быть записано также в виде: , где - служит мерой тепловой инерции, с^-0,5;

- коэффициент тепловой аккумуляции тела или коэффициент теплоусвоения, Вт×с^0,5/м²×К.

Среднемассовую температуру на начальной стадии можно найти следующим образом. Разрешая уравнение теплового баланса (3.6) относительно средней температуры и используя формулу для определения количества теплоты через удельный тепловой поток

где q определяется уравнением (2.4), получим

или в безразмерном виде

. (3.26)

Подставляя в полученные соотношения температуру поверхности из уравнения (3.25) и интегрируя при постоянном числе Био, будем иметь

, (3.27)

где

Следует отметить, что если в формуле (3.26) вместо (3.25) использовать уравнение (3.14), то можно получить точное решение (3.7).

Сопоставление приближенных зависимостей (3.25) и (3.27) с точными решениями (3.14) и (3.7) показало, что погрешность уравнения (3.27) при расчете средней температуры гораздо меньше, чем уравнения (3.25) для температуры поверхности.

Так, например, в случае нагрева при Bi=1 формулой (3.25) можно пользоваться с относительной погрешностью менее + 5% при времени начальной стадии Fo_н.с=0,5, а формулой (3.27) с погрешностью до момента времени Fo_н.с=1,0. Здесь под понимается время, до которого можно пользоваться формулами начальной стадии.

Решения (3.25) и (3.27) можно упростить путём разложения функции в ряд при малых ():

и при больших () аргументах: ,

где

Графическое решение уравнений (3.25) и (3.27) приведено на рисунке 3.4.

Рисунок 3.4 – Зависимость функций j и Ф от времени

Интересно отметить, что, в отличие от уравнения (3.14), где температура поверхности зависит от двух величин – числа Био и Фурье, из уравнения (3.25) следует, что q_п зависит только от одного параметра – числа Тихонова и вместо семейства кривых на рисунке 3.3, на рисунке 3.4 имеем всего одну линию. Решения, подобные (3.25), когда исчезает зависимость процесса от какого-либо параметра, принято называть автомодельными.

Для оценки времени инерционного периода нагрева поступим следующим образом. При протекании высокоинтенсивных процессов нагрева (охлаждения) в теории теплопроводности вводится понятие глубины теплового возмущения или толщины прогретого слоя d_п(t), т.е. расстояние от поверхности тела до точек, где температура еще остается равной первоначальной t₀ или отличается от нее не более, чем, например, на e = 5%. Точных формул для расчета текущей толщины прогретой зоны нет, а из приближенных можно рекомендовать формулы, полученные профессором Постольником Ю. С. [14]:

æ , (3.28)

где æ –для малых чисел Био (Ві<<2)

и æ – для больших Био (Ві>>2);

k – фактор геометрической формы, равный 1, 2, 3 для плоских, цилиндрических и шаровых тел соответственно.

Естественно полагать, что инерционный период нагрева закончится тогда, когда глубина теплового возмущения достигнет центральных точек тела. Полагая в уравнении (3.28) d_п(t) = d, получим

Fо₁ = 1 / æ² =. (3.29)

Для более точного расчета времени инерционного периода поступим следующим образом. Примем, что динамика изменения толщины прогретого слоя определяется выражением (3.28), в котором æ, а -безразмерная постоянная, зависящая от граничных условий на поверхности. Этот закон “квадратного корня” естественным образом вытекает из анализа температурного поля, в нашем случае из выражения (3.24) для полубесконечного плоского тела. Постоянная находится из уравнения (3.24) после замены в нем текущей пространственной координаты на глубину прогретого слоя , числа Тихонова на и относительной температуры в этой точке на малую величину степени прогрева :

. (3.30)

После определения постоянной из трансцендентного уравнения (3.30) инерционное время нагрева легко находится из соотношения (3.29).

Если время было найдено из каких-либо других условий, то постоянная

. (3.31)

При практических расчетах возникает необходимость решать как прямую, когда по числу Био и Фурье отыскиваются температуры, так и обратную задачу, когда определяется время нагрева пластины до заданной температуры, например, на поверхности t_п.з. Из уравнений (3.4), (3.7), (3.14)…(3.22) следует, что конец процесса нагрева (охлаждения), когда температура тела станет равна температуре окружающей среды (жидкости) , достигается за бесконечно большой промежуток времени. Однако, практически процесс можно считать законченным, когда температура будет на малую заданную величину (например, ) отличаться от температуры , т. е., например, температура поверхности достигает заданных технологией значений или в безразмерном виде:

. (3.32)

Прямая задача легко решается с помощью уравнений (3.4, 3.14…3.27) или рисунков 3.2 и 3.3, а для обратной задачи следует разрешать уравнения (3.14…3.22) относительно числа Фурье. Например, в стадии регулярного режима нагрева (РРН), путем потенцирования уравнения (3.20) получим время нагрева до заданной температуры q_п.з на поверхности

. (3.33)

Аналогично можно получить времена нагрева, если заданы конечная среднемассовая q_ср.з:

(3.34)

или в центре пластины q_ц.з

. (3.35)

В случае, если окажется, что Fо < 0,3 (иррегулярный режим нагрева), можно получить формулу из уравнения (3.25) для предельных случаев больших и малых чисел Тихонова:

(3.36)

где при малых y (y<1)

и при больших y (y>>1).

Покажем это на примере уравнения (3.33), расчет по которому может привести к отрицательному времени нагрева, если отношение окажется меньше 1. Так как при больших числах Био , следовательно формулой (3.33) можно пользоваться при числах . При следует вести расчет не по (3.33),а по уравнению (3.36) в котором при и будут получаться времена .