Предел функции по Коши

Рассматриваются числовые функции числового аргумента:

f: D (f) ® E (f); D (f) Ì R, E (f) Ì R,

g: D (g) ® E (g); D (g) Ì R, E (g) Ì R.

Операции над числовыми функциями числового аргумента вводятся поточечно, т.е.

1°. (f + g)(x) º f (x) + g (x), D (f + g) = D (f) Ç D (g);

2°. (a f)(x) º a f (x), D (a f) = D (f);

3°. (f × g)(x) º f (x) × g (x), D (f × g) = D (f) Ç D (g);

4°. (f ¤ g)(x) º f (x) ¤ g (x), D (f ¤ g) = D (f) Ç D (g) \ { x | g (x) = 0 };

5°. (f ○ g)(x) º f (g (x)), D (f ○ g) = D (g)\ { x | g (x) Ï D (f) };

Последнее равенство определяет суперпозицию двух функций f и g.

Теперь дадим определение предела числовой функции. Мы приведем несколько определений, которые эквивалентны, но сформулированы с применением несколько различных форм записи:

Def. Число b называется пределом функции f (x) при x стремящемся к a, где a точка сгущения области определения функции f (x), если для любой окрестности U _b точки b найдется проколотая окрестность точки a,образ которой содержится в заданной окрестности точки b f () Ì U _b.

f (x) = b: Û a Î D (f)¢ Ù " U _b $| f () Ì U _b.

Def. Еще одно определение предела функции:

f (x) = b: Û a Î D (f)¢ Ù " U _b $ " x Î D (f) Ç Þ f (x) Ì U _b.

Def. То же самое:

f (x) = b: Û a Î D (f)¢ Ù " U _b $ " x Î D (f) x ÎÞ f (x) Ì U _b.

Def. И вновь:

f (x) = b: Û a Î D (f)¢ Ù "e>0 $d>0 | " x Î D (f) 0 < | x - a | < d Þ | f (x) - b | < e.

Def. И, наконец, определение предела функции для несобственных элементов:

* если a Î R, b = ¥: a Î D (f)¢ Ù " U _b $| f () Ì U _b

a Î D (f)¢ Ù "e $d>0 | " x Î D (f) 0 < | x - a | < d Þ | f (x) | > e.

* если a Î R, b = -¥: a Î D (f)¢ Ù " U _b $| f () Ì U _b

a Î D (f)¢ Ù "e $d>0 | " x Î D (f) 0 < | x - a | < d Þ f (x) < e.

* если a = ¥, b Î R: a Î D (f)¢ Ù " U _b $| f () Ì U _b

a Î D (f)¢ Ù "e >0 $d | " x Î D (f) | x | > d Þ | f (x) - b | < e.

* если a = +¥, b Î R: a Î D (f)¢ Ù " U _b $| f () Ì U _b

a Î D (f)¢ Ù "e >0 $d | " x Î D (f) x > d Þ | f (x) - b | < e.

Примечание: Предел функции определяется поведением функции в произвольно малой проколотой окрестности предельной точки и не зависит ни от частного значения функции в предельной точке ни от поведения функции вне произвольно малой окрестности предельной точки.

Примечание: Два слова о существовании и не существовании предела функции:

$ f (x): Û $ b Î , R | f (x) = b;

Ø$ f (x): Û Ø$ b Î , R | f (x) = b;

· Запишем еще раз определение предела функции на языке e-d:

f (x) = b: Û a Î D (f)¢ Ù "e>0 $d>0 | " x Î D (f) 0 < | x - a | < d Þ | f (x) - b | < e.

************ °°°°°°°°°° ¾¾¾ ××××××××× °°°°°°°°°°°° ×××××××××××××××××××××××× ¾¾¾¾¾¾

Внимательно рассмотрев определение предела нетрудно установить, что:

а) подчеркнутое звездочками указывает на то, какой предельный процесс описывается;

б) подчеркнутое кружечками указывает на то, что точка а обязательно должна быть точкой сгущения и значения x выбираются из области определения функции. При сокращенной записи, это зачастую не пишут несмотря на обязательность.

И отметим, что при a Î D (f)¢ о пределе имеет смысл говорить, а при a Ï D (f)¢ о пределе вообще не имеет смысла говорить;

в) подчеркнутое сплошной линией указывает куда стремится функция f (x) ® b;

б) подчеркнутое линией из точек указывает куда стремится аргумент x ® а.

· Запишем теперь сокращенное определение того, что f (x) ® b при x ® а на языке e-d:

f (x) = b: Û "e>0 $d>0 | 0 < | x - a | < d Þ | f (x) - b | < e.

************* ¾¾¾ ×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××× ¾¾¾¾¾¾

Если изменяется характер стремления функции или аргумента то записать модифицированное определение предела поможет нам