Характеристическое свойство промежутка - вместе с любыми двумя точками промежутка в нем содержится и всякий промежуток, лежащий между ними

ЧИСЛОВЫЕ ПРОМЕЖУТКИ И ОКРЕСТНОСТИ ТОЧЕК

Примеры.

1^○ X = N. inf X = min X =1, sup X = +¥, max X не существует.

2^○ X = Q. inf X = -¥, sup X = +¥, max X и min X не существуют.

Основные типы промежутков:

а) интервал: (a, b) = { x ÎR ½ a < x < b };

б) полуинтервал: [ a, b) = { x ÎR ½ a £ x < b } или (a, b ] = { x ÎR ½ a < x £ b };;

б) сегмент: [ a, b ] = { x ÎR ½ a £ x £ b }.

Def. Открытой окрестностью точки a называется любой, содержащий ее, интервал. Открытая окрестность точки a обозначается U_a.. Интервал является открытой окрестностью любой своей точки.

Def. Открытой e-окрестностью точки a называется множество О (а,e):

О (а,e) º (а -e, а +e) = { x ÎR | | x - a | < e }.

Def. Проколотой окрестностью точки a называется множество .

Def. Проколотой e-окрестностью точки a называется множество

(а,e) º (а -e, а +e) \ { a } = { x ÎR | 0 < | x - a | < e }.

Def. Односторонней окрестностью точки a называется пересечение окрестности a с одной из полупрямых, на которые она разбивает числовую прямую:

, ;

, .

Def. Для бесконечно удаленных точек окрестности определяются следующим образом:

Левая полуокрестность точки+: О (, e) º (e, +),

Правая полуокрестность точки : О (e, ) º (e, ).