T-критерий для связанных (зависимых) измерений

Тема 10 Оценка достоверности различий при повторных измерениях

Задания для самостоятельной работы.

1. Определить достоверность различий между показателями среднего балла интеллекта у мальчиков и у девочек. Значения брать из Таблицы I Приложения. Использовать t-критерий Стьюдента.

2. Определить достоверность различий между показателями успеваемости у мальчиков и у девочек. Значения брать из Таблицы I Приложения. Использовать t-критерий Стьюдента.

3. Определить достоверность различий между показателями субтеста «арифметика» у мальчиков и у девочек. Значения брать из Таблицы I Приложения. Использовать U-критерий Манна-Уитни.

4. Определить достоверность различий между показателями субтеста «понятливость» у мальчиков и у девочек. Значения брать из Таблицы I Приложения. Использовать U-критерий Манна-Уитни.

С целью оценки достоверности сдвига значений в зависимых выборках используют t-критерий Стьюдента для зависимых измерений. Критерий для связанных выборок имеет следующую формулу:

,

где М_d – среднее арифметическое разностей индивидуальных значений, а σ_d - стандартное отклонение значений разностей. Количество степеней свободы df = n-1.

Следующий пример демонстрирует алгоритм расчета критерия. Перед началом первого учебного года был измерен уровень интеллекта у группы студентов. В начале второго учебного года при помощи параллельной методики вновь был измерен уровень интеллекта. Поскольку можно использовать результаты только одних и тех же людей, из дальнейшей обработки были исключены результаты тех студентов, которые оставили обучение в институте (которые не подверглись обследованию на фазе заключительных срезов). Можно ли сказать, что за год обучения интеллектуальный уровень студентов значимо изменился?

8. Формулируются статистические гипотезы.

Н₀: сдвиг между показателями начальных и конечных срезов значимо не отличается от нуля.

Н₁: сдвиг между показателями начальных и конечных срезов значимо отличается от нуля.

n	Начальный срез (xi)	Конечный срез (yi)	di = yi - xi	di - Md	(di - Md)2
				10,58	111,94
				-4,42	19,54
				4,58	20,98
				-2,42	5,86
				3,58	12,82
				3,58	12,82
			-9	-13,42	180,10
				0,58	0,34
				-1,42	2,02
				5,58	31,14
				1,58	2,50
			-4	-8,42	70,90
n=12			Σdi = 53		Σ = 470,92

М_d = Σd_i / n = 4,42

σ_d = = 6,54

t_эмп = = 2,341

df = 12 - 1 = 11

В нашем примере t_кр при df = 11 составляет 2,201 при р ≤ 0,05. Таким образом,
t_эмп > t_кр (р ≤ 0,05) ¹> H_0, Þ Н₁! _{ст. зн}.

То есть, мы можем принять на уровне статистической значимости гипотезу о достоверности сдвига значений интеллекта за год обучения.

Т-критерий Вилкоксона (ранговый критерий для повторных измерений)

Т-критерий Вилкоксона используется для решения тех же задач, что и t-критерий Стьюдента для связанных выборок. Отличие состоит в том, что Т-критерий Вилкоксона можно применять для порядковых данных, и исходные распределения не обязательно должны быть нормальными.

Формула имеет вид: Т = ΣRr. Где ΣRr – сумма нетипичных рангов.

Пояснить алгоритм расчета можно на следующем примере. Допустим, в кабине самолета (и на тренажере) изменили эргономическую среду. Для выполнения определенной задачи летчик раньше тратил одно количество секунд, а в новой среде он на выполнение тех же действий тратит другое количество времени. Таким образом, были сделаны замеры у 10 летчиков. Определить достоверность преобладания сдвига значений в направлении одной из сторон при условии, что результаты второго среза обусловлены исключительно изменением эргономической среды.

Формулируются статистические гипотезы.

Н₀: преобладание сдвигов между начальными и конечными показателями в одном из направлений значимо не отличается от нуля.

Н₁: преобладание сдвигов между начальными и конечными показателями в одном из направлений значимо отличается от нуля.

Определяются величины сдвигов между начальными и конечными показателями, затем они переводятся в абсолютные значения и ранжируются по принципу «меньшему значению – меньший ранг». Затем выделяются нетипичные (чья направленность отличается от большинства) ранги и подсчитывается их сумма.

n	Начальные показатели	Конечные показатели	Разность показателей (d)	Абсолютное значение разности	Ранг разности
			-5		4,5
					6,5
			-6		6,5
					2,5
					2,5
			-5		4,5

Следует обратить внимание: в нашем примере одно из значений d равно 0. Поэтому при ранжировании разностей мы присваиваем ему нулевой ранг.

В таблице нетипичные ранги выделены жирным шрифтом. Сумма нетипичных рангов равна искомому эмпирическому значению. Т_эмп = 4,5+6,5+4,5=15,5

Для Т-критерия Вилкоксона правило принятия-отвержения нулевой гипотезы следующее: Т_эмп ≤ Т_кр Þ Н₁!

Следует дополнительно добавить, что этот критерий может быть односторонним (если направление сдвигов предсказывается) и двусторонним (если мы не предсказываем направление сдвигов). Уровни значимости для одностороннего и двустороннего критерия различны.

В нашем случае мы имеем дело с двусторонним критерием, так как предварительно не предсказывали направление различий. Для n = 10 критическое значение при (р ≤ 0,05) составляет 10. То есть Т_эмп > Т_кр (р ≤ 0,05) Þ Н₀! Мы можем констатировать, что достоверность преобладания сдвигов ни в одном из направлений не установлена. Возможно, что мы могли бы опровергнуть нулевую гипотезу, если бы увеличили количество наблюдений.