Решение матричной игры графическим методом

Отсюда находим цену игры и вероятности применения стратегий

Пример

Проверим наличие седловой точки.

Для игрока А: Max (1, 1, 3) = 3

Для игрока В: min(7, 4, 5, 7) = 4

Так как значения не совпадаю, Седловой точки нет, а цена игры V находится в промежутке [3; 4].

Решим задачу в смешанных стратегиях. Для этого составим пару двойственных задач.

Решая задачи, находим, что

X={0.05, 0.15, 0, 0.07}

Y={0.07, 0.05, 0.15}

F=0.27

V=1/0.27=3.7

P={0.19, 0.56, 0.26}

Q={0.26, 0.19, 0.56}

При поиске оптимальных стратегий в матричных играх размерностей и целесообразно использовать графический метод решения задач линейного программирования и свойства оптимальных планов пары двойственных задач: если в оптимальном плане задачи переменная положительна, то соответствующее ограничение двойственной задачи ее оптимальным планом обращается в равенство; если оптимальным планом задачи ограничение обращается в строгое неравенство, то в оптимальном плане двойственной задачи соответствующая переменная равна нулю.

Пример. Решить игру с платежной матрицей

графическим методом.

Решение. В данном случае = 6, = 8, т.е. , а поэтому для определения оптимальных смешанных стратегий игроков составляем задачи

(1)

(2)

Поскольку одна из задач содержит две переменные, то, решим ее графически, находим: =1/27, =1/9, =4/27. Используя формулы , получаем: 27/4, , .

Для определения оптимальной смешанной стратегии найдем сначала решение двойственной задачи. В оптимальном плане задачи (2) и , поэтому оба ограничения двойственной задачи (1) ее оптимальным планом обращаются в равенства. Кроме того, значениями и второе ограничение задачи (2) обращается в строгое неравенство. Следовательно, в оптимальном плане задачи (1) соответствующая ему вторая переменная равна нулю, т. е. =0. Учитывая сказанное, для определения и получаем уравнения и , совместное решение которых дает = 3/54, = 5/54. Используя формулы , определяем =3/8, =0, =5/8. Итак, решение игры найдено:

.