Построение эпюр поперечной силы Q и изгибающего момента M

Рис.5.4

Дифференциальные и интегральные зависимости между q, Q и M

Установим некоторые зависимости, знание которых облегчит построение эпюр и даёт возможность в известной мере контролировать их правильность.

Рассмотрим балку с произвольной нагрузкой (рис.5.4,а).

а б

Выделим малый элемент балки O₁O₂ длиной dx и рассмотрим его равновесие (рис.5.4,б). В пределах малого участка распределённую нагрузку можно считать постоянной q (x) = const = q. Поскольку в общем случае Q и M меняются вдоль оси балки, в сечении O₁ будем иметь Q(x) и M(x), а в сечении O₂: Q(x) + dQ(x) и M(x) + dM(x). Как всегда, изображаем их положительно направленными. Из условия равновесия элемента O₁O₂ получим:

∑y = 0: Q + qdx – (Q + dQ) = 0,

∑M₀₂ = 0:

Первое уравнение даёт условие

. (5.3)

Из второго уравнения, пренебрегая членом , найдём:

. (5.4)

Из формул (5.3) и (5.4) следует, что

. (5.5)

Выражения (5.3) – (5.5) называют дифференциальными зависимостями при изгибе. Из них можно получить интегральные зависимости

Q = ∫qdx + Q₀, (5.6)

M = ∫Qdx + M₀. (5.7)

где Q₀ и M₀ - постоянные интегрирования (значения сосредоточенной силы и сосредоточенного момента в начале участка).

Использование интегральных зависимостей позволит упростить и ускорить построение эпюр.

Рассмотрим порядок построения эпюр Q и M для наиболее характерных, часто встречающихся случаев нагружения балок.

Сосредоточенная сила на свободном конце консоли (рис.5.5).

Рис.5.5

0 ≤ x ≤ ℓ Q(x) = P M(x) = – Px x   ℓ Q P P M   – Pℓ Балка имеет один участок. Начало координат выбираем в крайней правой точке, ось x направляем влево. При такой системе координат можно не находить реакции опоры. Вычисляем Q и M в произвольном сечении участка с абсциссой x. Для построения графиков достаточно получить две точки – в начале и в конце участка. Эти вычисления удобно делать в табличной форме.

Как видно из уравнений и из графиков, Q – постоянная, M – линейная функция. Для расчётов на прочность важно знать наибольшее значение изгибающего момента. В данном случае |M_max| = Pℓ. По эпюрам можно определить опорные реакции: R_A = P, M_A = – Pℓ.

Двухопорная балка с сосредоточенной силой посередине (рис.5.6).

Прежде всего найдём опорные реакции:

∑M_A = 0: ,

∑y = 0: .

В данном случае имеем на балке два участка. Для первого будем отсчитывать x от левой опоры А, для второго – от правой опоры В. Запишем уравнения Q и M, вычислим их значения на границах участков и построим эпюры 0 ≤ x1 ≤ ℓ/2, Q(x) = RA = P/2, M(x) = RA ∙ x = P/2 ∙ x. x   ℓ/2 Q P/2 P/2 M   Pℓ/4 0 ≤ x2 ≤ ℓ/2, Q(x) = – RВ = – P/2, M(x) = RВ ∙ x = P/2 ∙ x Mmax = Pℓ/4. x   ℓ/2 Q – P/2 – P/2 M   Pℓ/4

Рис.5.6

Консольная балка с равномерно распределённой нагрузкой (Рис.5.7). Балка имеет один участок. По аналогии с балкой на рис.5.5 отсчитываем x от свободного конца балки и поэтому не определяем опорные реакции.

0 ≤ x ≤ ℓ, Q(x) = q ∙ x, M(x) = – qx2/2. x   ℓ/2 Q   – qℓ M   – qℓ2/2 Как видно из уравнений: Q – линейная функция, M – квадратная парабола. .

Рис.5.7

Двухопорная балка с равномерно распределённой нагрузкой (рис.5.8). В данном случае необходимо сначала определить опорные реакции

∑М_А = 0: ,

∑у = 0: .

При подсчете момента от распределённой нагрузки мы заменяем её статическим эквивалентом – равнодействующей, и мысленно прикладываем эту равнодействующую в центре тяжести распределённой нагрузки. Затем определяем момент как произведение силы на плечо (рис.5.5,б). В нашем случае равнодействующая равна qℓ и приложена она должна быть в середине балки – на расстоянии ℓ/2 от опоры A.

Рис.5.8

0 ≤ x ≤ ℓ , . x   ℓ Q M     Из уравнений следует, что Q – линейная функция, M – квадратная парабола. Также видно, что в соответствии с формулой (5.4) Q – производная от M. В точке, где производная равна нулю, функция имеет экстремум.

Найдём его

, х₀ = ℓ/2, .

Получили, что в середине пролёта имеет место максимальный изгиб. момент.

Двухопорная балка со сосредоточенным моментом на опоре (рис.5.9). Находим опорные реакции, направив их вверх.

Рис.5.9

∑MA = 0: M + RB ∙ ℓ = 0, , ∑y = 0: RA + RB = 0, . Меняем направление RB на обратное.0 ≤ x ≤ ℓ , . По уравнениям строим графики.

Двухопорная балка с симметричными консолями (рис.5.10). Ввиду симметрии балки и нагрузки реакции опор направлены вверх и каждая из них равна Р. У балки три участка.

0 ≤ x1 ≤ ℓ Q(x) = – P, M(x) = – Px, 0 ≤ x2 ≤ ℓ Q(x) = P, M(x) = – Px, ℓ ≤ x3 ≤ 3ℓ Q(x) = – P + RA = – P + P = 0, M(x) = – Px + RA(x - ℓ) = – Px + Px – Pℓ = – Pℓ. На участке между опорами имеет место так называемый чистый изгиб – M = const, Q = 0. Рассмотрев примеры простых, «табличных» балок, перейдём к балке с произвольной нагрузкой.

Рис.5.10

Двухопорная балка с консолью и тремя участками (рис.5.11). Находим опорные реакции.

∑M_A = 0: – q ∙ 3 ∙ 1,5 + M + 4,5 R_B – P ∙ 6 = 0,

∑y = 0: R_A – q ∙ 3 + R_B – P = 0 Þ R_A = 20 ∙ 3 – 50 + 30 = 40 кН.

0 ≤ x1 ≤ 1,5 Q(x) = P = 30, M(x) = – Px = – 30х. x   1,5 Q     M   – 45 1,5 ≤ x2 ≤ 3 Q(x) = P – RB = 30 – 50 = – 20, M(x) = – Px + RB ∙ (x – 1,5) = = – 30х + 50x – 75 = 20x – 75. x 1,5   Q – 20 – 20 M – 45 – 15

Рис.5.11

0 ≤ x₃ ≤ 3

Q(x) = P – qx = 40 – 20x,

M(x) = – R_A ∙ x – ½ qx² = 40х – 10x².

x
Q		– 20
M

На третьем участке, в точке, где график Q пересекает ноль, имеет место экстремум изгибающего момента.

Найдём его

Q = 40 – 20x₀ = 0 Þ x₀ = 2м,

M_max = 40 ∙ 2 – 10 ∙ 2² = 40 кН∙м.

Анализ приведённых примеров и зависимости п.5.2 позволяет установить некоторые особенности эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

1. Участок балки – это часть её, в пределах которой функции Q и M непрерывны. Участок ограничен сосредоточенными силами или моментами, а также началом и концом распределённой нагрузки.

2. На участках, где нет распределённой нагрузки, поперечная сила Q постоянна, а изгибающий момент M меняется по линейному закону.

3. На участках, где к балке приложена равномерно распределённая нагрузка q, поперечная сила Q меняется по линейному закону, а изгибающий момент M – по закону квадратной параболы. В случае приложения распределённой нагрузки q, меняющейся по линейному закону (гидростатического давления), Q будет меняться по квадратной параболе, а M – по кубической параболе.

4. Изгибающий момент достигает максимума или минимума в сечениях, в которых график Q пересекает нулевую (базисную) линию. При этом выпуклость параболы обращена в сторону, противоположную направлению действия нагрузки q – правило “зонтика” (рис.5.12).

5. На участках, где Q = 0, M = const– имеет место чистый изгиб.

Рис.5.12

6. При движении по балке слева направо на участках, где Q > 0, изгибающий момент M возрастает; на участках, где Q < 0, M – убывает. 7. В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы, на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении приложенных сил, а на эпюре M будут переломы, причем остриё перелома направлено против действия силы. 8. В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты, на эпюре M будут скачки на величину этих моментов (на эпюре Q изменений не будет). Направление скачка зависит от направления внешнего момента.

Порядок построения эпюр Q и M.

1. Составляются уравнения статики, из которых определяются величины и направления опорных реакций.

2. Балка разбивается на участки.

3. Для каждого участка составляются аналитические выражения поперечных сил Q(x) и изгибающихся моментов M(x).

4. По полученным выражениям вычисляются ординаты эпюр на границах участков.

5. Определяются сечения, в которых действуют моменты M_max и M_min, и вычисляются значения этих моментов.

6. По ординатам и формулам строятся эпюры.

При наличии некоторого навыка построения эпюр описанный выше алгоритм можно упростить – не составлять аналитических выражений Q и M. После определения реакций строится эпюра Q по легко вычисляемым значениям на границах участков. Затем в характерных точках вычисляются значения M как площадь предшествующей эпюры Q – см. формулу (5.7). При этом для вычисления M_max необходимо определить площадь треугольника на эпюре Q: один катет его известен – это значение Q, другой – х₀ находится очень просто х₀ = Q/q.