Функция и плотность распределения системы случайных величин

На практике очень часто приходится рассматривать системы более чем двух случайных величин. Функция распределения системы нескольких (более двух) случайных величин вводится как обобщение функции распределения системы двух случайных величин. Так, функцией распределения системы случайных величин называется функция аргументов , равная вероятности совместного выполнения неравенств , то есть:

.

Эта функция является неубывающей функцией каждой переменной при фиксированных значениях других переменных. Если хотя бы одна из переменных стремится к , то функция распределения стремится к нулю. Если все переменные стремятся к , то функция распределения стремится к единице. Функция распределения каждой из величин, входящих в систему, получится, если в функции распределения системы все остальные аргументы положить равными , например, .

Аналогично одномерному случаю можно вывести формулу, связывающую функцию распределения и плотность вероятности :

,

или, что то же самое,

.

Плотность распределения системы не может быть отрицательной:

.

Вероятность попадания случайной точки с координатами в – мерную область выражается интегралом

.

Используя свойства функции распределения, получаем

.

Плотность распределения каждой из величин, входящих в систему, получится, если плотность распределения системы проинтегрировать в бесконечных пределах по всем остальным аргументам. Например,

.