Дивергенции

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Уравнения Максвелла могут быть представлены в дифференциальной форме:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

В данных уравнениях используются дифференциальные операторы:

,

и ротора

.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме получаются из интегральных уравнений с помощью теорем Стокса и Гаусса

,

.

Таким образом, уравнения Максвелла представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных. Их значение заключается в том, что путем их решения (интегрирования) могут быть найдены сами поля и .

Для полного определения уравнений Максвелла в дифференциальной форме их необходимо дополнить граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Эти условия можно сформулировать в краткой форме

; ; ; .

Фундаментальные уравнения Максвелла должны быть дополнены соотношениями, в которые входили бы величины, характеризующие индивидуальные свойства среды. Эти соотношения называются материальными уравнениями. В общем случае они могут быть крайне сложными, поэтому приведем материальные уравнения для случая изотропных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и ферромагнетиков:

; ; ,

где – объемная плотность заряда; – диэлектрическая проницаемость среды; Ф/м – электрическая постоянная,; – магнитная проницаемость среды; Гн/м – магнитная постоянная,; – удельная электрическая проводимость среды.