2014-02-24
3207
Задача 4.1.
Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 2,66 нФ и катушки без сердечника, намотанной из медного провода диаметром 0,5 мм (витки навиты вплотную и толщиной изоляции можно пренебречь). Длина катушки 20 см. Найти логарифмический декремент затухающих колебаний. Удельное сопротивление меди равно 1,7.10-8 Ом.м.
Решение
Логарифмический декремент затухания выразим через период затухающих колебаний
(1)
и коэффициент затухания
: (2)
, (3)
а циклическую частоту ωЗ затухающих колебаний – через собственную частоту контура
: (4)
. (5)
Здесь R – активное сопротивление катушки, а 
– ее индуктивность:
. (6)
Число витков катушки равно 
, так как витки расположены вплотную и изоляция провода ничтожно мала. Площадь сечения катушки выразим через ее радиус r: 
. Тогда из (6) получим: 
, или
. (7)
Активное сопротивление R катушки определяется длиной провода 
(
– длина одного витка) и его сечением
; 
,
или 
. Таким образом, из (2) и (7) получим:
; или
. (8)
Теперь выразим частоту собственных колебаний из (4) и (7): 
; 
; а затем – частоту затухающих колебаний из (5) и (8):
|
|
|
;
. (9)
Уравнения (1), (3) и (9) дают:
; 
.
Окончательно получим: 
, или
.
Подставим численные значения:
.
Ответ: 
.
Задача 4.2.
В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц включены последовательно емкость 35,4 мкФ, активное сопротивление 100 Ом и индуктивность 0,7 Гн. Найти силу тока и падение напряжения на емкости, активном сопротивлении и индуктивности.
Решение
По закону Ома для переменного тока:
, где 
–
полное сопротивление цепи переменного тока. Амплитудные значения напряжения и тока связаны с эффективными формулами: 
и 
, а циклическая частота равна: 
. Тогда 
, или
. (1)
Падение напряжения на каждом участке цепи можно найти по закону Ома для данного участка, используя формулы емкостного 
и индуктивного 
сопротивлений:
; (2)
; (3)
. (4)
Подставим численные значения в (1)‑(4):
А;
В;
В;
В.
Ответ: 
А; 
В; 
В; 
В.
Задача 4.3.
В цепь переменного тока частотой 50 Гц включены катушка индуктивности, амперметр и ваттметр. Показания приборов соответственно 120 В, 10 А, 900 Вт. Определить индуктивность катушки, ее активное сопротивление и сдвиг фаз между током и напряжением.
Решение
Цепь не содержит емкости, поэтому формула закона Ома для переменного тока 
не содержит емкостного сопротивления:
. (1)
Мощность переменного тока равна: 
, откуда
. (2)
Сдвиг фаз между током и напряжением определяется формулой:
. (3)
Преобразуем (3):
(4)
и подставим в (1): 
. Отсюда получим:
.
Поскольку 
, тогда
.
С учётом (2) 
.
Таким образом,
|
|
|
. (5)
Наконец, найдём индуктивность из (4):
. (6)
Подставим численные значения в (2), (5) и (6):
,
откуда 
; 
Ом; 
Гн.
Ответ: 
; 
Ом; 
Гн.
Контрольные вопросы и задания
1. Запишите дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в LC - контуре, его решение. Как изменяются со временем ток и напряжение в LC - контуре?
2. Какие процессы происходят при свободных гармонических колебаниях в колебательном контуре?
3. Запишите дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний и его решение. Проанализируйте его.
4. Почему частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний системы?
5. Что такое коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания? В чем заключается физический смысл этих величин?
6. При каких условиях наблюдается апериодическое движение?
7. От чего зависит амплитуда вынужденных колебаний? Запишите выражение для амплитуды и фазы при резонансе.
8. Почему добротность является важнейшей характеристикой резонансных свойств системы?
9. Что называется резонансом напряжений? Какова его роль?
10. Как сдвинуты по фазе колебания переменного напряжения и переменного тока текущего через конденсатор; катушку индуктивности; резистор? Ответ обосновать с помощью векторных диаграмм.
11. Нарисуйте и объясните векторную диаграмму для цепи переменного тока с последовательно включенными резистором, катушкой индуктивности и конденсатором.
12. Как вычислить мощность, выделяемую в цепи переменного тока?
