Решение уравнений и неравенств с несколькими переменными

Answer: 1.

Упражнение 65*.

Найдите наименьшее значение выраженияпри условии x+y+z=8.

The hint is in geometric interpretation of this problem, shown on the picture at the left.

Упражнение 66*.

Решите (т.е., найдите на плоскости (х,у) множество точек, координаты которых при подстановке их в уравнение превращают его в тождество) уравнение

y²+2xy+2x²+2y+8x+10=0 (consider it as quadratic relative y).

Упражнение 67.

Решите уравнение cos²x+2sin²y-2cosxsiny-2siny+1=0

Упражнение 68*.

Найдите наименьшее значение х, при котором уравнение x²+2y²+z²+xy-xz-yz=1

имеет решение. (Firstly consider it as an equation relative z, then, dealing with its discriminator, treat x as parameter).

Упражнение 69.

Решите уравнение y⁴-4y²-cos²x+5=0

Упражнение 70.

Решите уравнение cos(x+2y)sin(2x+y)=1

Упражнение 71*.

Решите уравнение (sin²x+sin^-2x)(1+ctg²2y)(3+sin3z)=4

(estimate separately each component in the production at the left))

Упражнение 72.

Решите неравенство (cos1,5x+sin1,5x)(11+4cos2y+8siny)£-17Ö2

(estimate separately each component in the production at the left))

Упражнение 73.

Решите систему уравнений:

(Think of geometric interpretation of the first equation)

Упражнение 73.

Найдите наименьшее значение выражения (Ответ: 0,5p)

Упражнение 74.

Найдите наименьшее значение выражения (x+3y+3)²+(6y+2x+5)² (Ответ: 0,2)

Упражнение 75.

Найдите наибольшее значение выражения 3sinx-3siny+5cosx

Упражнение 76*.

Найдите наименьшее и наибольшее значение выражения рациональной фунуции . При каких значения х и у они достигаются?
(Ответ: 0,5 на прямой у=0,5х; 2 на прямой у=-х)

Упражнение 76.

Найдите наибольшее значение выражения 2x+y на овале x²+2xy+3y²£2 (Ответ: 3)

Упражнение 77.

Решите уравнение x²+y²+x²y²-4xy=-1 (Ответ: (1,1); (-1,-1))

Упражнение 78*.

Решите уравнение 16x⁴+y⁴=8xy-2 (Ответ: (0,5, 1); (-0,5, -1))

Упражнение 79.

Решите уравнение 2(x⁴-2x²+3)(y⁴-3y²+4)=7

Упражнение 80.

Найдите отрицательные решения уравнения x²+64y²+=8

Упражнение 81.

Решите систему уравнений

Упражнение 82.

Решите неравенство 2^y-2cosx+£0

Готовимся к ЕГЭ.

Задача С5.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение. Answer: a=4.
(Assume it does have some solution (x.y). Which solution it will also necessarily have?)

Задача С6.

Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел а и b, что если к десятичной записи числа а приписать справа через запятую десятичную запись числа b, то получится десятичная запись числа b:a.

(Assume, that b has n digits in its decimal notation. Derive from this, that 10ⁿb=a²+ab. Note, that (b-a²,ab)=1))