Extract full square and use inequality between mean arithmetic and mean geometric)

At the nominator there is increasing function and so is one at the denominator which is in addition positive. The minimum will be at the time (if it is possible) when expression at the nominator reaches its minimum and one at the denominator reaches its maximum). Answer: p¤2.

Упражнение 54.

Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения х²+6:у, если хÎ[-2,], yÎ[-3,-1].

Упражнение 55.

Какие значения может принимать выражение F (x,y)=sinx-3cosy, если хÎ[,], yÎ[,]?

Упражнение 56.

Какие значения может принимать выражение F (x,y)=sinxcosy, если хÎ[,], yÎ[,]?

Упражнение 57.

Какие значения может принимать выражение F (x,y)=, если хÎ[, yÎ?

Упражнение 58*.

Найдите наименьшее значение выражения 4x²+y²+(xy)^-1 при условии xy>0.

Упражнение 59*.

Найдите наибольшее значение выражения при условии, что А, В и С – углы треугольника. Ответ: 1/8, достигается в равностороннем треугольнике.

Упражнение 60*.

Найдите наибольшее значение выражения x+3y в области плоскости (х,у), определяемой неравенством x²+xy+4y²£6. Answer: 4.

(Let a=x+3y. Then x=a-3y. Substitute x in the inequality and reformulate the problem: what is the maximal a when this inequality holds true?)

Упражнение 61*.

Найдите все такие значения у, для которых наименьшее значение выражния

|x²-(1+y)x+y|+(y-1)×|x+1| меньше 2.

(Look at y as at parameter. graph of f(x) is broken line, consisting of parts of parabolas. Explore the character of these parabolas on the corresponding intervals and figure out where the unction can reach its minimal values). Answer: (-¥,2).

Упражнение 62*.

Какие значения может принимать выражение F (x,y)=.

(let x=2sina, y=sinb)

Упражнение 63*.

Какие значения может принимать выражение F (x,y)=x²+2y² при условии x²-xy+y²=1. В каких точках этого эллипса данная функция принимает свои наименьшее и наибольшее значения?

(Prove, that there is some angle j such, that x-y=cosj and y=sinj. Find x and y from this system and substitute them into the expression. Switch to doubled angle and use method of an auxiliary angle). Answer: