Композиция отображений

Отображения фигур на плоскости.

Определение 1: формулы связывающие координаты x^/, y^/ образа М^/ произвольной точки М и ее координаты x, y относительно выбранной (аффинной или прямоугольной декартовой) системы координат О xy, называются формулами или уравнениями соответствующего отображение.

Определение 2: отображения фигуры F называется тождественным, если все точки фигуры F являются тождественными (двойными).

Обозначение: ε; ε(F)=F; формулы: ε:

Определение 3: параллельным переносом фигуры F называется ее отображение, при котором все ее точки смещаются на одно и тоже расстояние в одном направлении.

Если обозначить, то говорят о параллельном переносе на вектор α и пишут: F^/= (F).

Выведем формулы параллельного переноса.

Пусть, М(x; y), М^/(x^/; y^/). Тогда - по определении 3 или в координатах

Определение 4: поворотом фигуры F вокруг центра С на направленный угол α называется ее отображение, при котором:

1) точка С является неподвижной;

М^/

любая точка М F отображается на такую точку М^/, что СМ=СМ^/ и.

Обозначение:

Определение 5: центральной симметрией с центром С называется поворотом вокруг центра С на угол α=π.

Обозначение: М^/=Z_C(M)=.

Пример 1: пусть С=О (0;0), тогда имеем:

x^/

У^/

M^/

О С

Определение 6: осевой симметрией c осью р называется отображение фигуры F, при котором ее любая точка М отображается на точку М^/, симметричную точке М относительно прямой р.

M^/

M₀

N₀

F^/

K₀

K^/

ММ^/ р, М₀=ММ^/∩р,

ММ₀=М₀М^/.

Р – прямая неподвижных точек

(например, точки М₀, N₀, K₀).

Обозначение: М^/=S_р(М).

у^/

М₀

М^/

х^/

х=х^/

Пример 2: р=О_х

S_ох:

у^/

у^/=у

х^/

Пример 3: р=О_у

S_ох:

Определение: Композицией или произведением отображений f₁ и f₂ называется отображение f, являющиеся результатом последовательного выполнения системы отображения f₁, затем f₂.