Смешанное произведение векторов

17 18 19 20 21 22 23

Теорема 6.

Векторное произведение векторов

Определение 1. Векторным произведением двух ненулевых неколлинеарных векторов называется вектор, такой что:

1) длина вектора равна произведению длин этих векторов на синус угла между ними:

2) вектор перпендикулярен этим векторам и

3) векторы, образуют базис того же типа, что и векторы (правый базис).

Если же векторы коллинеарны или хотя бы один из них нулевой вектор, то их векторное произведение есть нулевой вектор

Обозначение: или

Средний палец

Большой палец правой руки

Указательный палец

Теорема 1. (О геометрическом смысле векторного произведения). Длина векторного произведения двух ненулевых неколлинеарных векторов равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Доказательство.

Следствие. Площадь ∆ C выражается формулой:

Теорема доказана.

Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было нулевым вектором:

Доказательство.

Необходимость. Пусть, тогда согласно определению 1 либо, либо, либо, либо, либо. Во всех этих случаях вектора коллинеарны по определению.

Достаточность. Пусть, тогда снова по определению 1

Теорема доказана.

Следующие три теоремы сформулируем без доказательства.

Теорема 3. Векторное произведение антикоммутативно (антисимметрично):

Теорема 4. Векторное произведение ассоциативно относительно скалярного множителя:

Теорема 5. Векторное произведение дистрибутивно относительно суммы векторов:

Доказательство.

Доказательство следует из определения 1.

Пусть, например,, тогда имеем:

⟹ ⟹.

Замечание. Достаточно запомнить первую формулу, вторая получается из первой, а третья – из второй с помощью круговой или циклической замены векторов

Теорема 7. (О координатах векторного произведения). Если в прямоугольном базисе (ортогональном) (и, то

Доказательство.

Воспользуемся определением координат вектора и теоремами 3, 4, 5 и 6:

(см. определение определителя 3-его порядка)

Теорема доказана.

Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(-1,0,-1), В(0,2,-3), С(4,4,1).

Решение.

По следствию из теоремы 1 имеем: (кв.ед.).

Определение 1. Смешанным произведением трёх векторов называется число, равное скалярному произведению векторного произведения векторов на вектор.

Обозначение. (

Можно показать, что

Теорема 1. Абсолютная величина (модуль) смешанного произведения трёх неколлинеарных векторов равна объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.