Расстояние от точки до плоскости

Параметрические уравнения плоскости

Уравнение плоскости в отрезках на осях

Пусть плоскость не проходит через начало координат и пересекает все оси координат соответственно в точках A(), B(0;; 0), C(0;0;). Тогда предыдущее уравнение можно записать в виде:

=0 (2)

Уравнение плоскости в отрезках на осях координат:

x/a0 + y/b0 + z/c0 = 1

Пример1. -2y+3z-6=0 привести общее уравнение плоскости к виду в отрезках на осях и изобразить эту плоскость.

x-2y+3z=6,,

.

Плоскость может быть задана некоторой точкой (;) и двумя неколлинеарными векторами (;) и (;), ей параллельными. При этом точка и концы векторов и не лежат на одной прямой, так что плоскость оказывается заданной тремя своими точками общего положения.

Пусть М(х;у;z)- произвольная точка плоскости. В силу коллинеарности векторов,, имеет место разложения:

= +, (3)

где

Так как О = O +, то векторное уравнение плоскости:

О = O + +. (4)

Прейдем к координатам в уравнении (4):

(х;у;z);;); (;); (;).

Окончательно получаем параметрические уравнения плоскости:

(5)

где переменные и - параметры,, R;

Векторы и - направляющие векторы плоскости. Придавая в равенствах (5) переменным и соответствующие значения, будем находить координаты точек плоскости.

Теорема 1. Расстояние δ от точки М₀(x₀;y₀;z₀) до плоскости α с уравнением

ax+by+cz+d=0 (1)

выражается формулой:

δ =. (2)

Доказательство.

Пусть М₁(x₁;y₁;z₁) – основание перпендикуляра, проведенного из точки М₀ к плоскости α. Тогда вектор n = (a;b;c), перпендикулярный плоскости α, коллинеарен вектору М₁М₀: n ↑↑ М₁М₀ или n ↑↓ М₁М_0.

По теореме о скалярном произведении векторов имеем:

М₁М₀*n= │М₁М₀│ │n│ cos <(М₁М₀,) = │ М₁М₀ │ │n │ (±1).

Учитывая, что: М₁М₀ (x₀ – x₁; y₀ – y₁; z₀ – z₁);

│n │=, δ = │ М₁М₀ │= р (М₀, α), получаем:

(x₀ – x₁) a + (y₀ – y₁) b + (z₀ – z₁) c = ± ρ (М₀, α) (3)

Так как М₁ α, то.

.

Из равенства (3) окончательно получим:

р (М₀, α) = δ =. Теорема доказана.

Теорема 2.Координаты точек одного из открытых полупростых неравенств, на которые плоскость у равнением (1) делит пространство, удовлетворяющее неравенству ax + by + cz + d > 0, а координаты точек другого открытого полупространства удовлетворяют неравенству противоположного смысла:

.

Следствие. Если точки и лежат по одну сторону от плоскости с уравнением (1), то многочлен при подстановке в него координат этих точек принимает значения одного знака, а если по разные стороны – значения разных знаков.

Доказательства аналогичны доказательствам соответствующих утверждений для прямой в планиметрии.

Пример 1. Исследовать взаимное расположение точки и плоскости:.

Решение.

;

;

.

Точка находится на расстоянии от плоскости по другую сторону от неё по отношению к началу координат.

Пример 2. Тетраэдр ОАВС, ограниченный координатными плоскостями и плоскостью: задается системой неравенств (нестрогих):

а его внутренняя область – соответствующей системой строгих неравенств.

,,.