Замечания. Общее уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости

VI. Плоскости и прямые

Теорема 3.

Теорема 2.

Пример.

Следствие 4.

Следствие 1.

. (5)

Доказательство следствия.

Следствие доказано.

Следствие 2. Знак смешанного произведения тройки некомпланарных векторов соответствует её ориентации, то есть если тройка правая, то, если тройка левая, то

Следствие 3. Три вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство следствия.

Если тройка векторов коллинеарная, то объём параллелепипеда, построенного на векторах этой тройки, равно нулю. Обратно, если V_ПАР = 0, то вектора тройки коллинеарны.

Следствие доказано.

Замечание. Из трёх неколлинеарных векторов, можно составить шесть упорядоченных троек: причём первые три тройки векторов образуют правый базис, а последние три – левый базис (большой, указательный, средний пальцы).

При перестановке любых двух векторов в каждой из первых троек получается копия – либо из трёх последних, поэтому в результате меняется ориентация упорядоченных троек векторов.

Если в упорядоченной тройке векторов осуществить циклическую перестановку векторов, то непосредственной проверкой убедимся, что при этом ориентация упорядоченной тройки векторов не меняется.

Из теоремы 1 следует, что при перестановке векторов в упорядоченной тройке модуль скалярного произведения не меняется, так как во всех случаях он равен объёму одного и того же параллелепипеда. Так же от скалярного произведения зависит ориентации тройки векторов.

(6)

Используя формулу (6), то есть определение 1дано корректно.

Доказательства теорем 2 и 3 следуют из свойств определителя 3-го порядка; мы их опускаем (см. теорему 4).

Теорема 4. Если в ортонормированном базисе

то

(7)

Доказательство.
.

Теорема доказана.

1^о

Определение 1. Нормалью к плоскости называется любая прямая, перпендикулярная этой плоскости. Нормальным вектором плоскости называется направляющий вектор её нормали.

1) Мы будем использовать прямоугольную декартову систему координат

2) Совпадающие плоскости или совпадающие прямые будем называть параллельными в широком смысле.

Теорема 1. Плоскость, проходящая через точку М_o(x_o; y_o; z_o) и имеющая нормальный вектор, определяется уравнением:

. (1)

Доказательство.

Пусть – нормальный вектор данной плоскости α, а M(x, y, z) – произвольная точка плоскости α.

Тогда имеем (согласно определению перпендикулярности прямой и плоскости):

Поэтому, откуда и следует равенство (1). Для любой же точки N, не принадлежащей α, соответственно, и равенство (1) не выполняется. Итак, каждую плоскость можно задать линейным уравнением с тремя переменными, имеющим хотя бы один ненулевой коэффициент.

Теорема доказана.