Аксиомы аффинного и n-мерного действительного пространства

I. Аффинные и евклидовы n-мерные пространства

Пусть V_n – векторное (линейное) пространство n измерений над полем действительных чисел R. Рассмотрим непустое множество E элементов произвольной природы, назовем их точками и будем обозначать заглавными буквами A,B,C … Векторы будем обозначать малыми буквами латинского алфавита со стрелкой наверху: .

Предположим, что каждой упорядоченной паре точек A, B из E поставлен в соответствие определенный вектор из V_n, то есть B получена при откладывании вектора от точки A.

Определение 1: множество E называется аффинным n -мерным действительным пространством над векторным пространством V_n и обозначается A_n, если выполнены следующие аксиомы откладывания векторов:

I. Для каждой точки A из A_n и произвольного вектора из V_n существует одна и только одна точка XA_n такая, что =.

II. Для любых точек A, B, C из A_n выполняется равенство (аксиома треугольника).

При этом пространство V_n, векторы которого сопоставляются упорядоченным парам точек из A_n, называется ассоциированным или связанным с пространством
A_n.

Замечание 1: точки пространства A_n и векторы пространства V_n могут иметь самую различную природу; требуется лишь, чтобы операции сложения векторов, умножения вектора на число и откладывания векторов обладали свойствами, перечисленными в сформулированных ранее аксиомах векторного пространства и аксиомам I и II аффинного пространства A_n.

Определение: пусть имеется непустое множество элементов, называемых векторами, в котором задана операция сложения векторов и умножения вектора на действительное число:

1) - сумма векторов и

2) и - произведение вектора на число k.

Тогда указанное множество называется n -мерным действительным векторным пространством и обозначается V_n, если указанные две операции обладают свойствами, перечисленными в 10 аксиомах: