Асимметричная и симметричная задачи

В общем случае, асимметричная задача коммивояжера отличается тем, что она моделируется ориентированным графом. Таким образом, следует также учитывать, в каком направлении находятся ребра.

В случае симметричной задачи все пары ребер между одними и теми же вершинами имеют одинаковую длину, то есть, для ребра одинаковы длины . В симметричном случае количество возможных маршрутов вдвое меньше асимметричного случая. Симметричная задача моделируется неориентированным графом (см. рисунок).

На самом деле, задача коммивояжёра в случае реальных городов может быть как симметричной, так и асимметричной в зависимости от длительности или длины маршрутов и от направления движения.

[править] Метрическая задача

Симметричную задачу коммивояжера называют метрической, если относительно длин ребер выполняетсянеравенство треугольника. Условно говоря, в таких задачах обходные пути длиннее прямых, то есть, ребро от вершины до вершины никогда не бывает длиннее пути через промежуточную вершину :

Такое свойство длины ребер определяет измеримое пространство на множестве ребер и меру расстояния, удовлетворяющую интуитивному пониманию расстояния.

Распространенные на практике функции расстояния являются также метриками и удовлетворяют неравенству треугольника:

• Евклидово расстояние в евклидовой задаче коммивояжёра,
• Манхэттенская метрика (также квартальная метрика) прямоугольной задачи коммивояжёра, в которой расстояние между вершинами на решетке равно сумме расстояний по оси ординат и абсцисс,
• Максимальная метрика, определяющая расстояние между вершинами решетчатого графа как максимальное значение расстояния вдоль оси ординат и абсцисс.

Две последние метрики находят применение, например, при сверлении отверстий в печатных платах, когда станок должен сделать больше отверстий за наименьшее время и может перемещать сверло в обоих направлениях для перехода от одного отверстия к следующему. Манхэттенская метрика соответствует случаю, когда передвижение в обоих направлениях происходит последовательно, а максимальная — случаю, когда передвижение в обоих направлениях происходит синхронно, а общее время равно максимальному времени передвижения вдоль оси ординат или абсцисс.

Не-метрическая задача коммивояжёра может возникать, например, в случае минимизации длительности пребывания при наличии выбора транспортных средств в различных направлениях. В таком случае обходной путь самолетом может быть короче прямого сообщения автомобилем.

Если на практике в условиях задачи разрешается посещать города несколько раз, то симметричную задачу можно свести к метрической. Для этого задачу рассматривают на так называемом графе расстояний. Этот граф имеет такое же множество вершин, как и исходный, и является полностью связным. Длина ребер между вершинами и на графе расстояний соответствует длине кратчайшего расстояния между вершинами и в исходном графе. Для определенных таким образом длин выполняется неравенство треугольника, и каждому маршруту на графе расстояний всегда соответствует маршрут с возможными повторениями вершин в исходном графе.

[править] Формулировка в виде задачи дискретной оптимизации

Одним из подходов к решению задачи является формулировка ее в виде задачи дискретной оптимизации, при этом решения представляются в виде переменных, а связи — в виде отношений неравенства между ними. Таким образом, возможно несколько вариантов. Например, симметричную задачу можно представить в виде множества ребер . Каждому ребру сопоставляется двоичная переменная , равная 1, если ребро принадлежит маршруту, и 0 — в противном случае. Произвольный маршрут можно представить в виде значений множества переменных принадлежности, но не каждое такое множество определяет маршрут. Условием того, что значения множества переменных определяют маршрут, являются описанные далее линейные неравенства.

Условие кратности: каждая вершина должна иметь одно входное и одно выходное ребро маршрута.

Каждая вершина должна сообщаться через пару ребер с остальным вершинам, то есть, через входное и выходное ребро:

В сумме каждое слагаемое равно или 1 (принадлежит маршруту) или 0 (не принадлежит). То есть, полученная сумма равна количеству ребер в маршруте, имеющих вершину на одном из концов. Она равна 2, так как каждая вершина имеет входное и выходное ребро. В приведенном рядом рисунке вершина показана с входным и выходными ребрами, а ребра маршрута обозначены толстыми линиями. Рядом с ребрами указаны длины , прилагаемые к указанной выше сумме.

Циклы: переменные удовлетворяют условию кратности, но не определяют маршрут.

Описанные ранее условия кратности выполняются не только маршрутами, но и значениями переменных, соответствующих отдельным циклам, где каждая вершина принадлежит лишь одному циклу (см. рисунок). Чтобы избежать подобных случаев, должны выполняться так называемые неравенства циклов (или условия устранения подмаршрутов), которые были определены Данцигом, Фалкерсоном и Джонсоном в 1954 году под названием условия петель (англ. loop conditions). Этими неравенствами определялось дополнительное условие того, что каждое множество вершин является либо пустым, либо содержит все вершины, сочетающееся с остальным вершинам через минимум два ребра:

для всех множеств вершин , где . Эта сумма равна сумме длин ребер маршрута между вершиной и вершиной . Чтобы устранить лишние неравенства, можно ограничиться множествами вершин с минимум двумя и максимум вершинами. На рисунке рядом ребра с длинами обозначены толстыми линиями, остальные ребра имеют длину . Введение дополнительных условий (2) для множества вершин , состоящего из трех левых вершин, будет гарантировать, что сочетается через минимум два ребра маршрута с тремя вершинами справа, чтобы устранить оба цикла. Количество неравенств устранения циклов согласно Данцигу, Фалкерсону и Джонсону равняется .

В 1960 году Миллер, Такер и Землин изобрели альтернативные условия устранения подмаршрутов путем введения новых переменных, определяющих порядок посещенных городов, требующих только дополнительных неравенств. Более того, из-за двойственности в формулировках Миллера, Такера и Землина задача коммивояжера остается NP-сложной.

Так, каждый вектор с элементами, равными 0 и 1, удовлетворяющий всем неравенствам, определяет корректный маршрут, который является решением переформулированной задачи коммивояжера: вычислить

Поскольку переменные имеют значения только 0 и 1, сумма равна общей длине ребер , принадлежащих маршруту.

Количество неравенств типа (2) растет экспоненциально по мере увеличения количества городов, поскольку почти каждое из подмножеств узлов определяет одно неравенство. Эту проблему можно решить применениемметода отсечения плоскостью, благодаря которому неравенства добавляются, только когда эти неравенства действительно необходимы. С геометрической точки зрения, линейные неравенства можно представить какгиперплоскости в пространстве переменных. Множество векторов, удовлетворяющих этим неравенствам, образуют в таком пространстве политоп (многомерный многогранник), или многомерный многоугольник, точная форма определяется длинами и является в основном неизвестной. Однако, можно показать, что условия (1) и (2) определяют грани (фацет) политопа, то есть боковые поверхности политопа с наивысшей размерностью. Поэтому они относятся к самым сильным линейным неравенствам, которые могут описывать маршрут. Также существует много разных граней, определяемых неравенствами, известными лишь в немногих случаях. Хотя (1) и (2) вместе с ограничениями полностью моделируют проблему только для двоичных векторов, эти неравенства могут использоваться в методе ветвей и границ, чтобы отбросить решения методами линейной оптимизации с нецелыми координатами (см. раздел точные методы ниже).

[править]Алгоритмическая сложность

Поскольку коммивояжер в каждом из городов встает перед выбором следующего города из тех, что он еще не посетил, существует маршрутов для асимметричной и маршрутов для симметричной задачи коммивояжера. Таким образом, размер пространства поиска зависит экспоненциально от количества городов.

Различные варианты задачи коммивояжера (метрическая, симметричная и асимметричная) NP-эквивалентны. Согласно распространенной, но недоказанной гипотезе о неравенстве классов сложности P и NP, не существует детерминированной машины Тьюринга, способной находить решения экземпляров задачи за полиномиальное время в зависимости от количества городов.

Также известно, что при условии не существует алгоритма, который для некоторого полинома вычислял бы такие решения задачи коммивояжера, которые отличались бы от оптимального максимум на коэффициент .

Однако, существуют алгоритмы поиска приближенных решений для метрической задачи за полиномиальное время и нахождения маршрута максимум вдвое длиннее оптимального. До сих пор не известен ни один алгоритм с полиномиальным временем, который бы гарантировал точность, лучшую чем 1,5 от оптимальной. По предположению , существует (неизвестная) константа , такая, что ни один алгоритм с полиномиальным временем не может гарантировать точность . Как было показано Арора, для евклидовой задачи коммивояжёра существует схема поиска приблизительных решений задачи (PTAS).

[править]Замкнутый и незамкнутый варианты задачи

В замкнутом варианте задачи коммивояжёра требуется посетить все вершины графа, после чего вернуться в исходную вершину. Незамкнутый вариант отличается от замкнутого тем, что в нём не требуется возвращаться в стартовую вершину.

Незамкнутый вариант задачи сводится к замкнутому путём замены весов дуг, входящих в стартовую вершину, на число 0. Оптимальный замкнутый маршрут коммивояжёра в таком графе соответствует оптимальному незамкнутому маршруту в исходном графе.

Чтобы свести замкнутый вариант к незамкнутому, нужно определить число , строго превосходящее вес любого маршрута коммивояжёра в заданном графе (например, в качестве можно взять сумму максимальных по весу дуг, выходящих из каждой вершины, увеличенную на 1). Затем нужно добавить к графу новую вершину (предполагаем, что вершины исходного графа пронумерованы числами от 0 до , при этом стартовая вершина имеет номер 0). Стоимости дуг, выходящих и входящих в вершину , определяются следующим образом:

• 
• 
• при от до

Оптимальный незамкнутый маршрут коммивояжёра в таком графе соответствует оптимальному замкнутому маршруту коммивояжёра в исходном графе и имеет стоимость на больше.

[править]Методы решения

[править] Простейшие

• полный перебор
• случайный перебор
• жадные алгоритмы
• метод ближайшего соседа
• метод включения ближайшего города
• метод самого дешёвого включения
• метод минимального остовного дерева
• метод имитации отжига

Все эффективные (сокращающие полный перебор) методы решения задачи коммивояжёра — методыэвристические. В большинстве эвристических методов находится не самый эффективный маршрут, априближённое решение. Зачастую востребованы так называемые any-time алгоритмы, то есть постепенно улучшающие некоторое текущее приближенное решение.

Существуют также постановки, в которых задача коммивояжера становится NP-полной. Обычно такие постановки выглядят следующим образом: существует ли на заданном графе G такой обход, что его стоимость не превышает x. Часто на ней проводят обкатку новых подходов к эвристическому сокращению полного перебора.

На практике применяются различные модификации более эффективных методов: метод ветвей и границ и метод генетических алгоритмов, а также алгоритм муравьиной колонии.

[править] Метод ветвей и границ

Основная статья: Метод ветвей и границ

Можно найти точное решение задачи коммивояжёра, то есть «вручную» вычислить длины всех возможных маршрутов и выбрать маршрут с наименьшей длиной. Однако даже для небольшого количества городов решать задачу таким способом практически невозможно. Для простого варианта, симметричной задачи с городами, существует возможных маршрутов, то есть для 15 городов существует 43 миллиарда маршрутов и для 18 городов уже 177 биллионов. То, как стремительно растет продолжительность вычислений, можно показать на следующем примере. Если бы существовало устройство, находящее решение для 30 городов за час, то для двух дополнительных городов требуется тысячу раз больше времени; то есть, более чем 40 суток.

Задача коммивояжера для трех городов: красная пунктирная плоскость отсекает все недопустимые решения с максимум одним ребром. Все точки в красном политопе удовлетворяют этому неравенству, и единственная допустимая точка это (1, 1, 1).

Методы дискретной оптимизации, в частности ветвей и границ, позволяют находить оптимальные или приблизительные решения для достаточно больших задач.

В геометрической интерпретации, эти методы рассматривают задачу как выпуклый политоп, то есть многомерный многоугольник в -мерном единичном кубе , где равно количеству ребер в графе. Каждое ребро этого единичного куба соответствует маршруту, то есть вектору с элементами 0/1, что удовлетворяет описанным выше линейным неравенствам. Гиперплоскости, описываемые этими неравенствами, отсекают такие ребра единичного куба, которые не соответствуют ни одному маршруту.

На рисунке рядом показано применение метода для задачи с тремя узлами. В соответствие трем возможным ребрам между вершинами сопоставляются бинарные переменные и . В этом случае существует лишь один возможный маршрут, а именно тот, что проходит через три вершины. Этот маршрут удовлетворяет неравенству , которое утверждает, что маршрут должен проходить через минимум две вершины. Кроме этого маршрута, что соответствует вектору (1,1,1), неравенству удовлетворяют также все точки в отмеченной красным части этого неравенства. Плоскости, проходящие через красные линии, отсекают все углы, отвечающие несуществующим маршрутам с максимум одним ребром, а именно, ноль-вектор (0, 0, 0), единичные векторы (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Сильное неравенство отсечет от единичного куба все, кроме единственной допустимой точки (1, 1, 1). В этом отдельном случае тот же эффект можно получить тремя неравенствами типа (1).

Для определения допустимого ребра с наименьшей длиной следует решить наборы задач линейной оптимизации, отсекающие секущими плоскостями ненужные части единичного куба и попытаться разделить единичный куб на меньшие политопы методом ветвей и границ.

Однако этого метода для быстрого поиска маршрутов обычно недостаточно. Основное преимущество точных методов заключается в том, что имея достаточно времени, они вычисляют кратчайший маршрут. Имея нижнюю границу для оптимальных решений, можно оценить то, насколько отличается найденный маршрут от оптимального. Например, имея нижнюю границу на уровне 100, и после нахождения маршрута длиной 102, оптимальный маршрут может находиться в пределах от 100 до 102. Так называемый интервал оптимальности, или максимальное относительное расстояние между длиной оптимального маршрута и кратчайшим известным маршрутом составит (102—100)/100 = 2 %, то есть длина найденного маршрута 102 максимум на 2 % отличается от оптимальной. Когда длина вычисленного маршрута равна длине предыдущего, считается, что найденное решение является оптимальным. Для поиска маршрутов приемлемой длины точные методы могут комбинироваться с эвристическими.

Метод ветвей и границ для решения задачи коммивояжёра был предложен в 1963 году группой авторов (Дж. Литл,К. Мурти, Д. Суини, К.Кэрол).^[1]

[править] Метод эластичной сети

См. также: Упругая карта и Выпуклая оболочка

[править] История

В 1987 году его использовали Дурбин (Durbin) и Уиллшоу (Willshaw), указавшие аналогию с механизмами установления упорядоченных нейронных связей^[2].

Каждый из маршрутов коммивояжера рассматривался как отображение окружности на плоскость (в каждый город на плоскости отображается некоторая точка этой окружности). Соседние точки на окружности должны отображаться в точки, по возможности ближайшие и на плоскости.

[править] Алгоритм

Начинается с установки на плоскость небольшой окружности. Она неравномерно расширяющейся, становясь кольцом, проходящим практически около всех городов и устанавливая т.о. искомый маршрут. На каждую движущуюся точку кольца оказывает действие две составляющие: перемещение точки в сторону ближайшего города и смещение в сторону соседей точки на кольце так, чтобы уменьшить его длину. Город в итоге связывается с определенным участком кольца по мере расширения.